Question

（1998•海淀區）已知：如圖，MN是⊙O的切線，切點為A，MN平行于弦CD，弦AB交CD于點E．
求證：AC²=AE•AB．

Answer 1

分析：連接AO并延長交⊙O于點F，連接CF，CB，利用切線的性質和圓周角定理得到∠MAC=∠F后即可得到△ACE∽△ABC，從而證得結論．

解答：證明：連接AO并延長交⊙O于點F，連接CF，CB，
∵MN是⊙O的切線，
∴FA⊥MN，
∴∠MAC+∠CAF=90°，
∵AF過點O，
∴∠ACF=90°，
∴∠CAF+∠F=90°，
∴∠MAC=∠F
∵∠CAB=∠CAB
∴△ACE∽△ABC
∴

AC

AB

=

AE

AC

∴AC²=AE•AB．

點評：本題考查了切線的性質及相似三角形的判定與性質，解題的關鍵是正確的作出如圖的輔助線．