Question

如圖，拋物線y=ax²+bx+3過點A（1，0），B（3，0），與y軸相交于點C．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若點E為拋物線對稱軸上的一點，請探索拋物線上是否存在點F，使以A，B，E，F為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，請求出所有點F的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）若點P為線段OC上的動點，連接BP，過點C作CN垂直于直線BP，垂足為N，當點P從點O運動到點C時，求點N運動路徑的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）將點A、B的坐標代入拋物線解析式，可得出a、b的值，繼而得出拋物線的解析式；
（2）分兩種情況討論，①E、F在AB同側，此時EF為平行四邊形的邊，②E、F在AB異側，此時EF為平行四邊形的對角線，根據平行線的性質即可得出點F的坐標；
（3）連接BC，可得點N的路徑是以BC的中點M為圓心，BC長的一半為半徑的，求出的長度即可．
解答：解：（1）將A（1，0）（3，0）代入y=ax²+bx+3得：，
解得：，
∴y=x²-4x+3．

（2）①設F（x，x²-4x+3），若E，F在AB的同側，則EF=AB=2，
∵點E在拋物線的對稱軸上，
∴|x-2|=2，
∴x=0或x=4，
∴F₁（0，3），F₂（4，3）．
②若E，F在AB異側，則F與拋物線的頂點重合，即F₃（2，-1），
∴存在點F₁（0，3），F₂（4，3），F₃（2，-1），使以A，B，E，F為頂點的四邊形為平行四邊形．

（3）連接BC，
∵∠BNC=90°，
∴點N的路徑是以BC的中點M為圓心，BC長的一半為半徑的，
連接OM，
∵OB=OC=3，
∴OM⊥BC，
∴∠OMC=90°，
∵BC=，
∴OM=
∴=．
點評：本題考查了二次函數的綜合題，涉及了待定系數法求二次函數解析式、平行四邊形的性質及點的運動軌跡，難點在第三問，連接BC，根據∠BNC=90°，判斷出點N的運動路徑是解題的關鍵，此類題目常以壓軸題出現，同學們要注意培養自己解答綜合題的能力．