Question

已知關于x的方程x²+3x+a=0的兩個實數根的倒數和等于3，且關于x的方程（k-1）x²+3x-2a=0有實根，且k為正整數，正方形ABP₁P₂的頂點P₁、P₂在反比例函數y=（x＞0）圖象上，頂點A、B分別在x軸和y軸的正半軸上，求點P₂的坐標．

Answer 1

【答案】分析：設方程x²+3x+a=0的兩個實數根分別為m與n，利用根與系數的關系表示出m+n與mn，根據m與n的倒數和為3列出關系式，通分后利用同分母分式的加法法則計算后，將表示出的m+n及mn代入，可得出a的值，將a的值代入關于x的方程（k-1）x²+3x-2a=0，根據此方程有解，得到根的判別式大于等于0，列出關于k的不等式，求出不等式的解集得到k的范圍，根據k為正整數得到k的值，確定出反比例函數y=的解析式，根據反比例函數解析式設出P₁的坐標，過P₁作P₁M垂直于y軸于M，過P₂作P₂N垂直于x軸于N，由正方形的性質及AAS可得出三個三角形全等，根據全等三角形的對應邊相等可得出三組邊相等，表示出ON與P₂N，即表示出P₂的坐標，將P₂的坐標代入反比例解析式中得到關于a的方程，求出方程的解得到a的值，即可確定出此時P₂的坐標．
解答：解：∵關于x的方程x²+3x+a=0的兩個實數根的倒數和等于3，設方程的兩根分別為m與n，
∴b²-4ac=9-4a≥0，即a≤，m+n=-3，mn=a，
∴+===3，即a=-1，
當k-1=0，即k=1時，方程的解為x==-；
當k-1≠0，即k≠1時，關于x的方程（k-1）x²+3x-2a=0有實根，
則b²-4ac=9-4（k-1）•（-2a）=9-8（k-1）≥0，即k≤，
由k為正整數，得到k=2，
∴反比例解析式為y=或y=，
過點P₁作P₁M⊥y軸，過P₂，作P₂N⊥x軸，如圖所示：

∵ABP₁P₂是正方形，
∴AB=AP₂=BP₁，∠BAP₂=∠ABP₁=90°，
∴∠BAO+∠P₂AN=90°，又∠AP₂N+∠P₂AN=90°，
∴∠BAO=∠AP₂N，
在△ABO和△P₂AN中，
∵，
∴△ABO≌△P₂AN（AAS），
同理△ABO≌△P₁BM≌△P₂AN，
當反比例解析式y=時，設P₁坐標為（a，）（a＞0），
∴MP₁=OB=AN=a，MB=OA=NP₂=-a，
∴ON=OA+AN=-a+a=，又NP₂=-a，
∴P₂的坐標為（，-a），
代入反比例解析式y=得：（-a）=2，
解得：a=1或a=-1（舍去），
∴P₂的坐標為（2，1）；
當反比例解析式y=時，設P₁坐標為（a，）（a＞0），
∴MP₁=OB=AN=a，MB=OA=NP₂=-a，
∴ON=OA+AN=-a+a=，又NP₂=-a，
∴P₂的坐標為（，-a），
代入反比例解析式y=得：（-a）=3，
解得：a=或a=-（舍去），
∴P₂的坐標為（，），
綜上，P₂的坐標為（2，1）或（，）．
點評：此題考查了反比例函數的性質，坐標與圖形性質，正方形的性質，全等三角形的判定與性質，根與系數的關系，以及一元二次方程解的判斷方法，利用了數形結合及分類討論的數學思想，是一道多知識點的綜合性題．