Question

【題目】若一個三位數滿足條件：其百位數字與十位數字之和為個位數字，則稱這樣的三位數為“吉祥數”，將“吉祥數”m的百位數字與個位數字交換位置，交換后所得的新數叫做m的“如意數”．如156是一個“吉祥數”，651是156的“如意數”．在吉祥數中當|x﹣y|＝0或1時，稱其為“和諧吉祥數”．

（1）個位數字為6的“和諧吉祥數”是　 　，個位數字為9的“和諧吉祥數”是　 　．

（2）證明：任意一個“吉祥數”與其“如意數”之差都能被11整除；

（3）已知m為“吉祥數”，n是m的“如意數”，若m與n的和能被8整除，求m．

Answer 1

【答案】（1）336；459或549；（2）見解析；（3）m的值為167或246或325或404或729或808．

【解析】

（1）首先應根據題目中所給的“和諧吉祥數”的概念，將它們表示出來即可；

（2）由于[100（x+y）+10y+x]﹣（100x+10y+x+y）＝101x+110y﹣101x﹣11y＝99y＝9×11y，依此即可得到任意一個“吉祥數”與其“如意數”之差都能被11整除；

（3）首先應根據題意表示出m、n，又因為m與n的和能被8整除．因此根據它們的范圍一一驗證即可求出最終m的值．

解：（1）因為3+3=6,|3-3|=0，所以個位數字為6的“和諧吉祥數”是 336，

因為4+5=9,|5-4|=1，所以個位數字為9的“和諧吉祥數”是 459或549．

故答案為：336；459或549；

（2）證明：設吉祥數的百位為x，十位為y，則個位為x+y，則這個吉祥數為：100x+10y+x+y，它對應的如意數為100（x+y）+10y+x.

∵[100（x+y）+10y+x]﹣（100x+10y+x+y）＝101x+110y﹣101x﹣11y＝99y＝9×11y，

∴任意一個“吉祥數”與其“如意數”之差都能被11整除；

（3）設吉祥數的百位為x，十位為y，則個位為x+y，則這個吉祥數為：100x+10y+x+y，它對應的如意數為100（x+y）+10y+x.

∵m+n＝（100x+10y+x+y）+[100（x+y）+10y+x]＝101x+11y+101x+110y＝202x+121y=200x+120y+2x+y，

∴m與n的和能被8整除，則2x+y要能被8整除

∴x＝1，y＝6時，m+n＝928，m=167；

x＝2，y＝4時，m+n＝888，m=246；

x＝3，y＝2時，m+n＝848，m＝325；

x＝4，y＝0時，m+n＝808,m=404；

x＝5，y＝6時，x+y=11（不合題意舍去）；

x＝6，y＝4時，x+y=10（不合題意舍去）；

x＝7，y＝2時，m+n＝1656，m＝729；

x＝8，y＝0時，m+n＝1616，m=808；

x＝9，y＝6時，x+y=15（不合題意舍去）；

故m的值為167或246或325或404或729或808．