Question

若△ABC的三邊長為a，b，c，根據下列條件判斷△ABC的形狀．
（1）a²+b²+c²+200=12a+16b+20c
（2）a³-a²b+ab²-ac²+bc²-b³=0．

Answer 1

解：（1）∵a²+b²+c²+200=12a+16b+20c，
∴（a²-12a+36）+（b²-16b+64）+（c²-20c+100）=0，
即（a-6）²+（b-8）²+（c-10）²=0
∴a-6=0，b-8=0，c-10=0，即a=6，b=8，c=10，而6²+8²=100=10²，
∴a²+b²=c²，
∴△ABC為直角三角形．
（2）（a³-a²b）+（ab²-b³）-（ac²-bc²）=0，a²（a-b）+b²（a-b）-c²（a-b）=0，
∴（a-b）（a²+b²-c²）=0
∴a-b=0或a²+b²-c²=0或（a-b）（a²+b²-c²）=0，
∴此三角形ABC為等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形．
分析：（1）利用完全平方公式，配方成完全平方的形式，再根據非負數的性質，求出a，b，c，由勾股定理判斷三角形的形狀；
（2）先將式子進行因式分解，再求得a、b、c的大小關系，從而判斷出三角形的形狀．
點評：本題考查的知識點：完全平方公式、勾股定理及因式分解．