Question

如圖，已知AB是⊙O的直徑，M，N分別是AO，BO的中點，CM⊥AB，DN⊥AB．求證：

AC

=

BD

．

Answer 1

分析：連結OC、OD，由M，N分別是AO，BO的中點得到OM=ON，再根據“HL”可判斷Rt△OMC≌Rt△OND，則∠COM=∠DON，然后根據圓心角、弧、弦的關系得到

AC

=

BD

．

解答：證明：連結OC、OD，如圖，
∵AB是⊙O的直徑，M，N分別是AO，BO的中點，
∴OM=ON，
∵CM⊥AB，DN⊥AB，
∴∠OMC=∠OND=90°，
在Rt△OMC和Rt△OND中，

OM=ON OC=OD

，
∴Rt△OMC≌Rt△OND（HL），
∴∠COM=∠DON，
∴

AC

=

BD

．

點評：本題考查了圓心角、弧、弦的關系：在同圓和等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等；推論：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應的其余各組量都分別相等．也考查了全等三角形的判定與性質．