Question

【題目】如圖1，在正方形ABCD和正方形BEFG中，點A，B，E在同一條直線上，連接DF，且P是線段DF的中點，連接PG，PC．

（1）如圖1中，PG與PC的位置關系是　 　，數量關系是　 　；

（2）如圖2將條件“正方形ABCD和正方形BEFG”改為“矩形ABCD和矩形BEFG”其它條件不變，求證：PG=PC；

（3）如圖3，若將條件“正方形ABCD和正方形BEFG”改為“菱形ABCD和菱形BEFG”，點A，B，E在同一條直線上，連接DF，P是線段DF的中點，連接PG、PC，且∠ABC=∠BEF=60°，求的值．

Answer 1

【答案】（1）PG⊥PC且PG=PC；（2）詳見解析；（3）PG：PC=．

【解析】

（1）延長GP交DC于點H，由條件可以得出△DHP≌△FGP，就可以得出DH=GF，PH=PG，根據正方形的性質就可以得出HC=GC，從而由等腰直角三角形的性質可以得出結論；

（2）如圖2，延長GP交DC于點H，由條件可以得出△DHP≌△FGP，根據直角三角形的性質就可以得出結論；

（3）如圖2，延長GP交DC于點H，由條件可以得出△DHP≌△FGP，根據菱形的性質可以得出△HCG是等腰三角形，由菱形的內角和可以求出∠PCG=60°，由特殊角的三角函數值就可以求出結論．

（1）PG⊥PC且PG=PC．理由：

如圖1，延長GP交DC于點H．

∵四邊形ABCD和BEFG是正方形，∴DC=BC，BG=GF，∠FGB=∠GCD=∠DCB=90°，∴CD∥GF，∴∠CDP=∠GFP．

∵P是線段DF的中點，∴DP=FP．

在△DHP和△FGP中，∵，∴△DHP≌△FGP（ASA），∴DH=FG，PH=PG，∴HC=GC，∴△HCG是等腰直角三角形．

∵PH=PG，∴PG⊥PC且PG=PC．

（2）如圖2，延長GP交DC于點H．

∵四邊形ABCD和BEFG是矩形，∴∠FGB=∠GCD=∠DCB=90°，∴CD∥GF，∴∠CDP=∠GFP．

∵P是線段DF的中點，∴DP=FP．

在△DHP和△FGP中，∵，∴△DHP≌△FGP（ASA），∴PH=PG=HG．

∵∠DCB=90°，∴△HCG是直角三角形，∴CP=HG，∴PG=PC；

（3）如圖3，延長GP交CD于H．

∵P是DF的中點，∴DP=FP．

∵四邊形ABCD和四邊形BEFG是菱形，點A，B，E在同一條直線上，∴DC∥GF，∴∠HDP=∠GFP．

在△DHP和△FGP中，∵，∴△DHP≌△FGP（ASA），∴HP=GP，DH=FG．

∵CD=CB，FG=GB，∴CD﹣DH=CB﹣FG，即：CH=CG，∴△HCG是等腰三角形，∴PC⊥PG，∠HCP=∠GCP（等腰三角形三線合一），∴∠CPG=90°．

∵∠ABC=60°，∴∠DCB=120°，∴∠GCP=∠DCB=60°，∴Rt△CPG中，．

故答案為：PG⊥PC，PG=PC，PG：PC=．