Question

如圖所示，已知梯形紙片ABCD中，∠B=60°，將紙片沿著對角線AC折疊，折疊后點D剛好落在AB邊上的點E處．小明認為：如果E是AB的中點，則梯形ABCD是等腰梯形；小亮認為：如果梯形ABCD是等腰梯形，則E是AB的中點．對于他們兩人的說法，你認為

1. A.
   兩人都正確
2. B.
   小明正確，但小亮不正確
3. C.
   小明不正確，但小亮正確
4. D.
   兩人都不正確

Answer 1

A
分析：根據折疊得出AD=AE，DC=CE，∠DAC=∠BAC，根據平行線的性質推出AD=DC，根據等邊三角形的判定推出等邊三角形CEB，推出BC=CE=AD，即可得到答案；證出△CEB是等邊三角形，推出BC=BE=CE，根據AE=CE，即可推出答案．
解答：∵將紙片沿著對角線AC折疊，折疊后點D剛好落在AB邊上的點E處，
∴AD=AE，DC=CE，∠DAC=∠BAC，
∵DC∥AB，
∴∠DCA=∠BAC，
∴∠DCA=∠DAC，
∴DC=AD，
∴AD=DC=CE=AE，
∵E是AB的中點，
∴AE=BE=CE，
∵∠B=60°，
∴三角形CEB時等邊三角形，
∴BC=CE=AD，
∴梯形ABCD是等腰梯形，
∴小明說法正確；
∵等腰梯形ABCD，
∴BC=AD，
∵AD=CE，
∴BC=CE，
∵∠B=60°，
∴三角形CEB是等邊三角形，
∴BC=CE=BE，
∵CE=AE，
∴AE=BE，
∴E是AB的中點，
∴小亮說法正確；
故選A．
點評：本題主要考查對等腰三角形的判定，等腰梯形的性質和判定，平行線的性質，等邊三角形的性質和判定，翻折變換（折疊問題）等知識點的理解和掌握，能綜合運用這些性質進行推理是解此題的關鍵．