Question

如圖，以O為原點的直角坐標系中，A點的坐標為（0，1），直線x=1交x軸于點B．P為線段AB上一動點，作直線PC⊥PO，交直線x=1于點C．過P點作直線MN平行于x軸，交y軸于點M，交直線x=1于點N．
（1）當點C在第一象限時，求證：△OPM≌△PCN；
（2）當點C在第一象限時，四邊形POBC的面積為S，請判斷S是否存在最大（或最小），若存在，求出其值，并判斷此時△PBC的形狀；
（3）當點P在線段AB上移動時，點C也隨之在直線x=1上移動，△PBC是否可能成為等腰三角形？如果可能，求出所有能使△PBC成為等腰三角形的點P的坐標；如果不可能，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據∠OPC=90°和同角的余角相等，我們可得出三角形OPM和PCN中兩組對應角相等，要證兩三角形全等，必須有相等的邊參與，已知了OA=OB，因此三角形OAB是等腰直角三角形，那么三角形AMP也是個等腰三角形，AM=MP，OA=OB=MN，由此我們可得出OM=PN，由此我們可得出兩三角形全等．
（2）知道了A的坐標，也就知道了OA、OB、MN的長，在直角三角形AMP中，我們知道了AP為m，那么可用m表示出AM、MP，也就能表示出OM、BN，PN的長，那么可根據四邊形OPCB的面積=矩形的面積-三角形OMP的面積-三角形PCN的面積，來求出S，m的函數關系式．然后根據二次函數的性質求得答案．
（3）要分兩種情況進行討論：
當C在第一象限時，要想使PCB為等腰三角形，那么PC=CB，∠PBC=45°，因此此時P與A重合，那么P的坐標就是A的坐標．
當C在第四象限時，要想使PCB為等腰三角形，那么PB=BC，在等腰直角三角形PBN中，我們可以用m表示出BP的長，也就表示出了BC的長，然后根據（1）中的全等三角形，可得出MP=NC，那么可用這兩個含未知數m的式子得出關于m的方程來求出m的值．那么也就求出了PM、OM的長，也就得出了P點的坐標．
解答：（1）證明：∵OM∥BN，MN∥OB，∠AOB=90°，
∴四邊形OBNM為矩形，
∴MN=OB=1，∠PMO=∠CNP=90°，
∵OA=OB，
∴∠1=∠3=45°，
∵MN∥OB，
∴∠2=∠3=45°，
∴∠1=∠2=45°，
∴AM=PM，
∴OM=OA-AM=1-AM，PN=MN-PM=1-PM，
∴OM=PN，
∵∠OPC=90°，
∴∠4+∠5=90°，
又∵∠4+∠6=90°，
∴∠5=∠6，
∴△OPM≌△PCN；

（2）不存在．
解：設AP長為m，
∵AM=PM=APsin45°=m，
∴OM=1-m，
∴S=S_矩形OBNM-2S_△POM=（1-m）-2×（1-m）•m
=m²-m+1
=（m-）²，
∴當x＜時，S隨m的增大而減小，
∵C在第一象限，
∴當點C于點B重合時，m=，
∴0≤m＜，
當m=0時，有最大值為1；
此時△PBC是等腰直角三角形．

（3）解：△PBC可能成為等腰三角形，
①當P與A重合時，PC=BC=1，此時P（0，1）
②當點C在第四象限，且PB=CB時
有BN=PN=1-m
∴BC=PB=PN=-m
∴NC=BN+BC=1-m+-m
由（2）知：NC=PM=m
∴1-m+-m=m
整理得（+1）m=+1
∴m=1
∴PM=m=，BN=1- m=1-
∴P（，1-）
由題意可知PC=PB不成立
∴使△PBC為等腰三角形的點P的坐標為（0，1）或（，1-）．
點評：本題考查了全等三角形的判定及等腰三角形的性質；此題的設計比較精巧，將幾何知識放在坐標系中進行考查，第1題運用相似形等幾何知識不難得證，第2小題需利用第1小問的結論來建立函數解析式，第3小題需分類討論，不要漏解，運用方程思想可以得到答案，分類討論是正確解答本題的關鍵．