Question

如圖，在平面直角坐標系xoy中，M是x軸正半軸上一點，⊙M與x軸的正半軸交于A，B兩點，A在B的左側，且OA，OB的長是方程x²-12x+27=0的兩根，ON是⊙M的切線，N為切點，N在第四象限．
（1）求⊙M的直徑；
（2）求直線ON的解析式；
（3）在x軸上是否存在一點T，使△OTN是等腰三角形？若存在請在圖2中標出T點所在位置，并畫出△OTN（要求尺規作圖，保留作圖痕跡，不寫作法，不證明，不求T的坐標）；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）易得一元二次方程的解，讓OB-OA，得到直徑．
（2）設出正比例函數解析式，連接圓心和切點，NC⊥OM，求得點N坐標，代入正比例函數即可．
（3）△OTN是等腰三角形那么應分OT=ON，OT=TN，TN=ON，三種情況進行分析．

解答：解：（1）解方程x²-12x+27=0，得x₁=9，x₂=3，
∵A在B的左側，
∴OA=3，OB=9，
∴AB=OB-OA=6，
∴OM的直徑為6（1分）．

（2）過N作NC⊥OM，垂足為C，連接MN，則MN⊥ON．
∵sin∠MON=

MN

OM

=

3

6

=

1

2

，
∴∠MON=30°，
又cos∠MON=

ON

OM

，
∴ON=OM×cos30°=3

3

；
在Rt△OCN中，
OC=ON•cos30°=3

3

×

3

2

=

9

2

，
CN=ON•sin30°=3

3

×

1

2

=

3 3

2

，
∴N的坐標為(

9

2

，-

3 3

2

)（3分），
（用其它方法求N的坐標，只要方法合理，結論正確，均可給分）．
設直線ON的解析式為y=kx，
∴-

3 3

2

=

9

2

k，
∴k=-

3

3

，
∴直線ON的解析式為y=-

3

3

x（4分）．

（3）存在．
T₁（3

3

，0），T₂（-3

3

，0），T₃（9，0），T₄（3，0）
如圖2，T₁，T₂，T₃，T₄為所求作的點，△OT₁N，△OT₂N，△OT₃N，△OT₄N為所求等腰三角形．
（每作出一種圖形給一分）（8分）．

點評：連接圓心和切點，構造直角三角形求解是常用輔助線方法，三角形為等腰三角形，那么任意兩邊之和相等，應分情況討論．