Question

（2006•河南）二次函數y=x²的圖象如圖所示，過y軸上一點M（0，2）的直線與拋物線交于A，B兩點，過點A，B分別作y軸的垂線，垂足分別為C，D．
（1）當點A的橫坐標為-2時，求點B的坐標；
（2）在（1）的情況下，分別過點A，B作AE⊥x軸于E，BF⊥x軸于F，在EF上是否存在點P，使∠APB為直角？若存在，求點P的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）當點A在拋物線上運動時（點A與點O不重合），求AC•BD的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）已知二次函數解析式，及A點橫坐標-2，可求A點縱坐標，故MC=2-=，設點B的坐標為（x，x²），由Rt△BDM∽Rt△ACM，得相似比，可求x的值，確定B點坐標；
（2）若∠APB=90°，利用互余關系可得出△AEP∽△PFB，設EP=a，則PF=10-a，而AE=，BF=8，利用相似比可求A，可得P的坐標；
（3）依題意設A（m，m²），B（n，n²），且m＜0，n＞0，由Rt△BDM∽Rt△ACM，類似（1），用含m，n的式子表示相關線段的長，利用相似比得出m，n的關系式，此時AC•BD=-mn．
解答：解：（1）根據題意，設點B的坐標為（x，x²），其中x＞0．
∵點A的橫坐標為-2，
∴A（-2，）．（2分）
∵AC⊥y軸，BD⊥y軸，M（0，2），
∴AC∥BD，MC=，MD=x²-2．
∴Rt△BDM∽Rt△ACM．
∴．
即．
解得x₁=-2（舍去），x₂=8．
∴B（8，8）．（5分）

（2）存在．（6分）
連接AP，BP，
由（1），AE=，BF=8，EF=10．
設EP=a，則PF=10-a．
∵AE⊥x軸，BF⊥x軸，∠APB=90°，
∴△AEP∽△PFB．
∴，
∴．
解得a=5±．
經檢驗a=5±均為原方程的解，
∴點P的坐標為（3+，0）或（3-，0）．（8分）

（3）根據題意，設A（m，m²），B（n，n²），不妨設m＜0，n＞0．
由（1）知，
則或．
化簡，得（mn+16）（m-n）=0．
∵m-n≠0，
∴mn=-16．
∴AC•BD=16．（10分）
點評：本題考查了點的坐標求法，相似三角形的判定及性質運用，要求掌握點的坐標與線段長的關系；
本題（1）也可以先求直線AM的解析式，再與拋物線解析式聯立，求B點坐標．