Question

（2008•旅順口區）（1）操作：如圖2，O是邊長為a的正方形ABCD的中心，將一塊半徑足夠長、圓心角為直角的扇形紙板的圓心放在O點處，并將紙板繞O點旋轉．求證：正方形ABCD的邊被紙板覆蓋部分的總長度為定值a．
（2）思考：如圖1，將一塊半徑足夠長的扇形紙板的圓心放在邊長為a的正三角形或邊長為a的正五邊形的中心O點處，并將紙板繞O點旋轉．當扇形紙板的圓心角為______時，正三角形的邊被紙板覆蓋部分的總長度為定值a；如圖3，當扇形紙板的圓心角為______時，正五邊形的邊被紙板覆蓋部分的總長度為定值a．（直接填空）
（3）探究：一般地，將一塊半徑足夠長的扇形紙板的圓心放在邊長為a的正n邊形的中心O點處，并將紙板繞O點旋轉，當扇形紙板的圓心角為______度時，正n邊形的邊被紙板覆蓋部分的總長度為定值a；這時正n邊形被紙板覆蓋部分的面積是否也為定值？若為定值，寫出它與正n邊形面積S之間的關系（不需證明）；若不是定值，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）如圖，連接OA、OD，由正方形的性質證得△AOE≌△DOF，有AE=DF，即被紙板覆蓋部分的總長度為AF+EA=AF+DF=AD=a為定值．
（2）在等邊三角形△ABC中，連接OB，OB，當△OCE≌△OBD時，有OD+OE+CD+CE+OB+OC+BC為定值．此時∠DOE=∠BOC=120°；同理在正五邊形中，∠FOG=∠DOE=72°
（3）由（1）（2）可以推得當在扇形紙板的圓心角為時，正n邊形的邊被紙板覆蓋部分的總長度為定值a；此時正n邊形被紙板覆蓋部分的面積是定值，等于以正多邊形一邊與中心構成的三角形的面積，且為．
解答：解：（1）在正方形ABCD中，設扇形兩半徑交AB、AD分別于E、F，
作連接OA、OD．
∵O是正方形ABCD的中心，
∴OA=OD，∠OAD=∠ODA=45°，
∴∠AOD=90°．（1分）
∵扇形的圓心角∠EOF=90°，
∴∠AOE+∠AOF=∠DOF+∠AOF，
∴∠AOE=∠DOF，（2分）
∴△AOE≌△DOF（ASA），（3分）
∴AE=DF．（4分）
所以被紙板覆蓋部分的總長度為AF+EA=AF+DF=AD=a為定值．（5分）

（2）在等邊三角形△ABC中，連接OB，OC，當△OCE≌△OBD時，有OD+OE+CD+CE+OB+OC+BC為定值．此時∠DOE=∠BOC=360°÷3=120°．
同理在正五邊形中，∠FOG=∠DOE=360°÷5=72°．

（3）圓心角為，（8分）
是定值，被紙板覆蓋部分的面積是．（10分）
故答案為：120°；72°；．
點評：本題考查了正多邊形的性質，全等三角形的判定和性質．