Question

【題目】在平面直角坐標系中，我們不妨將橫坐標、縱坐標均為整數的點稱之為“湘一點”．

（1）求函數y=x-3的圖象上所有“湘一點”的坐標；

（2）若直線y=mx+m（m為常數）與直線y=x-2的交點為“湘一點”，試求出整數m的值．

（3）若直線y=-x+b、直線y=3、直線y=x+2所圍成的平面圖形中（不含邊界）共有6個“湘一點”，試求出常數b的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）函數y=x-3的圖象上“湘一點”的坐標是（0，-3）；（2）m=0或m=2；（3）10＜b≤12或-4≤b＜-2

【解析】

（1）根據題意和湘一點的定義可以解答本題；

（2）將兩個一次函數聯立方程組，解方程組，再根據整點的條件分析討論；

（3）畫出圖形，利用特殊點解決問題即可；

（1）∵x是整數，x≠0時，x是一個無理數，

∴x≠0時，x-3不是整數，

∴x=0，y=-3，

即函數y=x-3的圖象上“湘一點”的坐標是（0，-3）；

（2）解，得x=-1-，

∵交點為“湘一點”，且m為整數，

∴m=0或m=2，

（3）如圖，當直線y=-x+b經過A（5，7）時，b=12，

當直線y=-x+b經過點B（4，6）時，b=10．

當直線y=-x+b經過點C（-2，0）時，b=-2．

當直線y=-x+b經過點D（-3，-1）時，b=-4．

觀察圖象可知：直線y=-x+b、直線y=3、直線y=x+2所圍成的平面圖形中（不含邊界）共有6個“湘一點”，常數b的取值范圍10＜b≤12或-4≤b＜-2．