Question

如圖，在平面直角坐標系中，點P是經過點O（0，0）、A（0，2）、B（2，0）的圓上的一個動點（P與O、B不重合），請你回答：
（1）∠OAB=______度；
（2）∠OPB=______度；
（3）若設S_△OPB=S，則S的取值范圍是______

Answer 1

【答案】分析：（1）根據O、A、B的坐標就可以得到OA=OB，則△OAB是等腰三角形，可求出∠OAB的度數；
（2）根據同弧所對的圓周角相等，以及圓內接四邊形的對角互補．就可以求出∠OPB的度數；
（3）若設S_△OPB=S，則求S的取值范圍實際就是求P點的縱坐標絕對值的最大值．
解答：解：（1）在△OAB中，OA=OB；
∴△OAB是等腰直角三角形；
∴∠OAB=45°；

（2）當P在弦OB的上面時：∠OPB=45°，當P在OB的下邊時：∠OPB=135°，
∴∠OPB的度數是45°或135°；

（3）設經過O、A、B三點的圓的圓心為C．
連接OC，過C作CD⊥OB于D，
則△CDB是等腰直角三角形，
∴CD=BD=1，BC=AC=OC=，
當S最大時，P點縱坐標的絕對值最大，為+1，
此時S=×2×（+1）=+1．
因此S取值范圍是0＜S≤+1．
點評：本題綜合考查了垂徑定理和圓周角的求法及性質．解答這類題一些學生不會綜合運用所學知識解答問題，不知從何處入手造成錯解．