Question

如圖，已知直角坐標(biāo)系內(nèi)有一條直線和一條曲線，這條直線和x軸、y軸正半軸分別交于點A和點B，且OA=OB=1．這條曲線是函數(shù)y=

1

2x

的圖象在第一象限的一個分支，點P是這條曲線上任意一點，它的坐標(biāo)是（a、b），由點P向x軸、y軸所作的垂線PM、PN，垂足是M、N，直線AB分別交PM、PN于點E、F．
（1）分別求出點E、F的坐標(biāo)（用a的代數(shù)式表示點E的坐標(biāo)，用b的代數(shù)式表示點F的坐標(biāo)，只須寫出結(jié)果，不要求寫出計算過程）；
（2）求△OEF的面積（結(jié)果用含a、b的代數(shù)式表示）；
（3）分別計算AF與BE的值（結(jié)果用含a、b的代數(shù)式表示）；
（4）△AOF與△BOE是否一定相似，請予以證明；如果不一定相似或一定不相似，簡要說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)圖示知，點F的縱坐標(biāo)是b，橫坐標(biāo)是OB-ON=1-a；點E的縱坐標(biāo)是OA-AM=1-a，橫坐標(biāo)是a；
（2）利用割補(bǔ)法求得S_△EOF=S_矩形MONP-S_△EMO-S_△FNO-S_△EPF；
（3）根據(jù)相似三角形的判定定理SAS證明△AOF∽△BOE．

解答：解：（1）點E（a，1-a），點F（1-b，b）；（2分）

（2）S_△EOF=S_矩形MONP-S_△EMO-S_△FNO-S_△EPF，
=ab-

1

2

a(1-a)-

1

2

b(1-b)-

1

2

(a+b-1)2，
=

1

2

(a+b-1)；（4分）

（3）BE=

a2+(1-1+a)2

=

2

a，
AF=

(1-1+b)2+b2

=

2

b；（6分）

（4）△AOF∽△BEO，（7分）
證明：∵OA=OB=1，
∴∠FAO=∠EBO；
∵點P（a，b）是曲線y=

1

2x

上一點，
∴2ab=1，即AF•BE=1；
又∵OA•OB=1，
∴

AF

OB

=

OA

BE

；
∴△AOF∽△BEO．

點評：本題主要考查了反比例函數(shù)的綜合題、相似三角形的判定及勾股定理．解答（4）題時，利用反比例函數(shù)圖象上的點的特點，圖象上所有的點都滿足函數(shù)解析式．