Question

【題目】定義：圓心在三角形的一邊上，與另一邊相切，且經過三角形一個頂點（非切點）的圓，稱為這個三角形圓心所在邊上的“友好圓”．

（1）如圖1，△ABC中，∠C=90°，AB=13，BC=5，則AC邊上的友好圓的半徑為 ．

（2）如圖2，已知等腰△ABC，AB=AC=10，BC=12，畫草圖并求出它所有的友好圓的半徑．

Answer 1

【答案】⑴6 ;⑵

【解析】

（1）先依據勾股定理求得AC的長，然后依據切線的性質可知AC為圓的直徑，故此可求得△BAC的友好圓的半徑等于AC的一半；

（2）當O在BC上時，連接OD，過點A作AE⊥BC．由等腰三角形的性質和勾股定理求得AE=8，依據切線的性質可證明OD⊥AB，接下來證明△ODB∽△AEB，由相似三角形的性質可求得圓O的半徑；當O在AB上且圓O與BC相切時，連接OD、過點A作AE⊥BC，垂足為E．先證明△BOD∽△BAE，由相似三角形的性質可求得圓O的半徑，當O在AB上且圓O與AC相切時，連接OD、過點B作BF⊥AC，過點A作AE⊥BC，垂足為E．先依據面積法求得BF的長，然后再證明△AOD∽△ABF，由相似三角形的性質可求得圓O的半徑；

（1）∵∠C=90°，AB=13，BC=5，

∴AC=．

∵BC是圓的切線，∠BCA=90°，

∴AC為圓的直徑．

∴AC邊上的半隨圓的半徑為6．

（2）當O在BC上時，如圖（1）所示：連接OD，過點A作AE⊥BC．

∵AB=AC，AE⊥BC，

∴BE=EC=6．

在△AEB中，由勾股定理可知AE==8．

∵AB與⊙O相切，

∴OD⊥AB．

∴∠BDO=∠BEA=90°．

又∵∠OBD=∠EBA，

∴△ODB∽△AEB．

∴．

設⊙O的半徑為r．在OB=12-r．

∴．

∴r=．

∴△ABC的BC邊上的友好圓的半徑為．

當O在AB上時，如圖（2），連接OD、過點A作AE⊥BC，垂足為E．

∵BC與⊙O相切，

∴OD⊥BC．

又∵AE⊥BC，

∴OD∥AE．

∴△BOD∽△BAE．

∴．

設⊙O的半徑為r，則OB=10-r．

∴．

∴r=．

如圖（3）所示：連接OD、過點B作BF⊥AC，過點A作AE⊥BC，垂足為E．

∵S△ABC=BCAE=ACBF，

∴×12×8=×10×BF．

∴BF=9.6．

∵AC與⊙O相切，

∴DO⊥AC．

∴DO∥BF．

∴△AOD∽△ABF．

∴

即．

∴r=．

綜上所述，△ABC的友好圓的半徑分為．