Question

學完“證明（二）”一章后，老師布置了一道思考題：如圖，點M、N分別在正三角形ABC的邊BC．CA上，且BM=CN，AM、BN交于點Q。求證：∠BQM=60°。

（1）請你完成這道思考題；
（2）做完（1）后，同學們在老師的啟發下進行了反思，提出了許多問題，如：
①若將題中“BM=CN”與“∠BQM=60°”的位置交換，得到的是否仍是真命題?
②若將題中的點M，N分別移動到BC，CA的延長線上，是否仍能得到∠BQM＝60°？
③若將題中的條件“點M，N分別在正三角形ABC的BC、CA邊上”改為“點M，N分別在正方形ABCD的BC，CD邊上”，是否仍能得到∠BQM＝60°？對②，③進行證明。（自己畫出對應的圖形）

Answer 1

（1）見解析；（2）①是；②是；③否

解析試題分析：（1）根據正三角形的性質可得AB=BC，∠ABM＝∠BCN，再結合BM=CN根據“SAS”可證得△ABM△BCN，可得∠BAM=∠CBN，即可求得結果；      
（2）①仍為真命題；②易證△BAN△ACM（SAS），可得∠1＝∠2，∠N＝∠M，即可求得結果；
③易證△ABM△BCN（SAS），可得∠1＝∠2，又∠2+∠3＝90°，即得∠BQM＝∠1+∠3＝∠2+∠3＝90°.
（1）∵正三角形ABC
∴AB=BC，∠ABM＝∠BCN
∵BM=CN
∴△ABM△BCN（SAS）
∴∠BAM=∠CBN，
∴∠BQM=∠BAQ+∠ABQ=∠MBQ+∠ABQ=60°；     
（2）①仍為真命題；    
②如圖：

易證△BAN△ACM（SAS）
∴∠1＝∠2，∠N＝∠M
又∠BQM＝∠N+∠QAN＝∠N+∠2＝∠M+∠2＝∠ACB＝60°；
③如圖

此時不能得到∠BQM＝60°，而有∠BQM＝90°
易證△ABM△BCN（SAS）
∴∠1＝∠2，又∠2+∠3＝90°，
∴∠BQM＝∠1+∠3＝∠2+∠3＝90°.
考點：等邊三角形的性質，全等三角形的判定及性質
點評：判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、HL．判定兩個三角形全等，先根據已知條件或求證的結論確定三角形，然后再根據三角形全等的判定方法，看缺什么條件，再去證什么條件．