Question

已知拋物線y=ax²+b（a＞0，b＞0），函數y=b|x|
問：（1）如圖，當拋物線y=ax²+b與函數y=b|x|相切于AB兩點時，a、b滿足的關系；
（2）滿足（1）題條件，則三角形AOB的面積為多少？
（3）滿足條件（2），則三角形AOB的內心與拋物線的最低點間的距離為多少？
（4）若不等式ax²+b＞b|x|在實數范圍內恒成立，則a、b滿足什么關系？

Answer 1

解：（1）當x＞0時，直線的解析式為y=bx，
聯立兩函數的解析式可得：
ax²+b=bx，即ax²-bx+b=0，
由于兩函數的交點只有一個，
因此△=b²-4ab=0，b=4a．
同理可求得當x＜0時，b=4a．
因此a、b需滿足的條件有b=4a．

（2）由（1）可知：y=ax²+4a，y=4a|x|，
因此A（-2，8a），B（2，8a）
因此S_△AOB=×4×8a=16a．

（3）設三角形AOB的內心為M，過M作MN⊥OA于N，
設AB與y軸的交點為H，設MN=MH=x，
根據△ONM∽△OHA，則有：
，
即
∴x=，
∴OM=8a-x=4a+
易知拋物線的頂點P坐標為（0，4a）．
因此三角形AOB的內心與拋物線的最低點間的距離MP=

（4）根據題意：ax²+b＞b|x|，即ax²-b|x|+b＞0①，
∵a＞0，b＞0
如果要使①恒成立，b²-4ab＜0，
因此0＜b＜4a．
分析：（1）聯立直線與拋物線的解析式可得出一個關于x的方程，已知兩函數只有一個交點，因此方程的△=0．由此可求出a、b的關系式．
（2）將a、b的關系式代入兩函數中即可求出A、B的坐標．進而可求出三角形AOB的面積．
（3）可通過構建相似三角形來求解．設三角形AOB的內心為M，過M作OA的垂線，設垂足為N，設AB與y軸交于H，可設MH=MN=x，根據相似三角形OMN和AMH求出x的值，即可求出OM的距離，根據拋物線的解析式可求出拋物線頂點的坐標，即可得出拋物線最低點到原點的距離．據此可得出所求．
（4）將b|x|移到方程左邊，由于拋物線的開口向上即a＞0，如果ax²-b|x|+b＞0恒大于0，那么拋物線y=ax²-b|x|+b與x軸無交點即ax²-b|x|+b=0的△＜0，由此可求出a、b的關系．
點評：本題以二次函數為背景，考查了三角形內心、一元二次方程根的判別式以及不等式的解法等知識，綜合性強，難度較大．