Question

【題目】如圖，AB是半圓O的直徑，D為半圓上的一個動點(不與點A，B重合)，連接AD，過點O作AD的垂線，交半圓O的切線AC于點C，交半圓O于點E．連接BE，DE．

(1)求證：∠BED＝∠C．

(2)連接BD，OD，CD．

填空：

①當∠ACO的度數為　 　時，四邊形OBDE為菱形；

②當∠ACO的度數為　 　時，四邊形AODC為正方形．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)①30°；②45°．

【解析】

（1）利用同角的余角相等證明∠BED＝∠C；

（2）①當∠ACO＝30°時，四邊形OBDE是菱形，利用鄰邊相等的平行四邊形為菱形進行證明；

②當∠ACO＝45°時，四邊形AODC是正方形，利用利用鄰邊相等的矩形為正方形進行證明．

(1)r如圖，設AD，OC交于點P，

∵OC⊥AD，

∴∠APC＝90°．

∴∠C+∠CAP＝180°﹣∠APC＝90°

∵AC是半圓O的切線，

∴∠CAO＝∠CAP+∠BAD＝90°．

∴∠BAD＝∠C，

∵∠BED＝∠BAD，

∴∠BED＝∠C；

(2)①當∠ACO＝30°時，四邊形OBDE是菱形，理由如下

連接BD，如圖

∵AB是半圓O的直徑，

∴∠ADB＝90°，

∵∠DAB＝∠ACO＝30°，

∴∠DBA＝60°，

∵OE⊥AD，

∴=

∴∠DBE＝∠ABE＝30°

∵∠DEB＝∠DAB＝30°，

∴∠DEB＝∠ABE，

DE∥AB

∵∠ADB＝90°，即BD⊥AD，

OE⊥AD，

∴OE∥BD，

故四邊形OBDE 是平行四邊形

∵OB＝OE

∴四邊形OBDE 是菱形；

故答案為30°；

②當∠ACO＝45°時，四邊形AODC是正方形．理由如下

連接CD、OD，

∵∠BED＝∠ACO＝45°，

∴∠BOD＝2∠BED＝90°，

∴∠AOD＝90°，

∵OC⊥AD，

∴OC垂直平分AD

∴∠OCD＝∠OCA＝45°，

∴∠ACD＝90°，

∵∠ACO＝90°，

∴四邊形AODC是矩形

∵OA＝OD，

∴四邊形AODC是正方形，

故答案為45°．