Question

（2006•河北）探索：
在如圖1至圖3中，△ABC的面積為a．

（1）如圖1，延長△ABC的邊BC到點D，使CD=BC，連接DA．若△ACD的面積為S₁，則S₁=______（用含a的代數式表示）；
（2）如圖2，延長△ABC的邊BC到點D，延長邊CA到點E，使CD=BC，AE=CA，連接DE．若△DEC的面積為S₂，則S₂=______（用含a的代數式表示），并寫出理由；
（3）在圖2的基礎上延長AB到點F，使BF=AB，連接FD，FE，得到△DEF（如圖3）．若陰影部分的面積為S₃，則S₃=______（用含a的代數式表示）．
發現：
像上面那樣，將△ABC各邊均順次延長一倍，連接所得端點，得到△DEF（如圖3），此時，我們稱△ABC向外擴展了一次．可以發現，擴展一次后得到的△DEF的面積是原來△ABC面積的______倍．
應用：
去年在面積為10m²的△ABC空地上栽種了某種花卉．今年準備擴大種植規模，把△ABC向外進行兩次擴展，第一次由△ABC擴展成△DEF，第二次由△DEF擴展成△MGH（如圖4）．求這兩次擴展的區域（即陰影部分）面積共為多少m²？

Answer 1

【答案】分析：（1）根據三角形的面積公式，得到等底同高的兩個三角形的面積相等；
（2）運用分割法：連接AD．根據三角形的面積公式進行分析：等底同高的兩個三角形的面積相等；
（3）在（2）的基礎上，陰影部分的面積是（2）中求得的面積的3倍；再加上原來三角形的面積進行計算．
應用：根據上述結論，即擴展一次后得到的三角形的面積是原三角形的面積的7倍，則擴展兩次后，得到的三角形的面積是原三角形的面積的7²=49倍．從而得到擴展的區域的面積是原來的48倍．
解答：解：（1）∵BC=CD，
∴△ACD和△ABC是等底同高的，即S₁=a；

（2）2a；（2分）
理由：連接AD，

∵CD=BC，AE=CA，
∴S_△DAC=S_△DAE=S_△ABC=a，
∴S₂=2a；

（3）結合（2）得：2a×3=6a；
擴展一次后得到的△DEF的面積是6a+a=7a，即是原來三角形的面積的7倍．
應用拓展區域的面積：（7²-1）×10=480（m²）．
點評：命題立意：考查學生探索知識、發現知識、應用知識的綜合創新能力．
點評：本題的探索過程由簡到難，運用類比方法可依次求出．從而使考生在身臨數學的情境中潛移默化，逐漸感悟到數學思維的力量，使學生對知識的發生及發展過程，解題思想方法的感悟，體會得淋漓盡致，是一道新課標理念不可多得的好題．