Question

如圖，CD切⊙O于點D，連接OC，交⊙O于點B，過點B作弦AB∥DC，點E為垂足，已知⊙O的半徑為6，
（1）若OE=4，求弦AB的長；
（2）若DC=6

3

，求劣弧AB的長．

Answer 1

分析：（1）由CD為圓O的切線，根據切線的性質得到CD與OD垂直，又AB與DC平行，根據與平行線中的一條直線垂直，與另一條也垂直可得OE與AB垂直，根據垂徑定理可得E為AB的中點，即AB=2EB，在直角三角形OEB中，由OE及OB的長，利用勾股定理求出EB的長，可得出AB的長；
（2）由DC與OD垂直，可得三角形ODC為直角三角形，在直角三角形ODC中，由DC及OD的長，利用銳角三角函數定義表示出∠COD的正切值，利用特殊角的三角函數值求出∠COD的度數，然后利用弧長公式求出弧BD的長，又OE與AB垂直，根據垂徑定理得到D為劣弧AB的中點，可得出弧AB的長等于弧BD長的2倍．

解答：解：（1）∵CD為圓O的切線，
∴CD⊥OD，
∴∠ODC=90°，又AB∥DC，
∴∠OEB=∠ODC=90°，
在Rt△OEB中，OE=4，OB=6，
根據勾股定理得：EB=

OB2-OE2

=2

5

，
又OE⊥AB，
∴E為弦AB的中點，
則AB=2BE=4

5

；
（2）由∠ODC=90°，得到△OCD為直角三角形，
∵DC=6

3

，OD=6，
∴tan∠COD=

CD

OD

=

6 3

6

=

3

，
∴∠COD=60°，
又OE⊥AB，
∴D為

AB

的中點，即

AD

=

BD

=

60π×6

180

=2π，
則

AB

=2

BD

=4π．

點評：此題考查了切線的性質，平行線的性質，垂徑定理，勾股定理，銳角三角函數，以及弧長公式，熟練掌握定理及性質是解本題的關鍵．