Question

在一場籃比賽中，甲球員在距籃4米處跳投，球運行的路線是拋物線，當球運行的水平距離為2.5米時，達到最大高度3.75米，然后球準確落入籃圈．已知籃圈中心到地面的距離為3.05米．
（1）建立如圖所示的平面直角坐標系，求拋物線的解析式；
（2）乙球員身高為1.91米，跳起能摸到的高度為3.15米，此時他上前封蓋，在離投籃甲球員2米處時起跳，問能否成功封蓋住此次投籃？
（3）在（2）條件下若乙球員想要成功封蓋甲球員的這次投籃，他離甲球員的距離至多要多少米？

Answer 1

解：（1）設拋物線的解析式為y=ax²+3.75，
把（1.5，3.05）代入得a×1.5²+3.75=3.05，解得a=-，
所以拋物線的解析式為y=-x²+3.75（-2.5≤x≤1.5）；

（2）當x=2-2.5=0.5時，y=-×（-0.5）²+3.75≈3.69，
∵3.15m＜3.69m，
∴在離投籃甲球員2米處時起跳，不能成功封蓋住此次投籃；

（3）當y=3.15時，-x²+3.75=3.15，
解得x=±1.40，
∵-2.5≤x≤1.5，
∴x=-1.40，
∴-1.40-（-2.5）=1.1，
∴若乙球員想要成功封蓋甲球員的這次投籃，他離甲球員的距離至多要1.1米．
分析：（1）先設拋物線的頂點式為y=ax²+3.75，然后把（1.5，3.05）代入得到a的方程，再解方程即可；
（2）根據題意乙球員所在點的坐標為（-0.5，0），把當x=-0.5代入（1）的解析式求出對應的函數值，然后與3.15進行大小比較，再進行判斷能否成功封蓋住此次投籃；
（3）求函數為3.15時的自變量的值，即把y=3.15代入（1）的解析式可得到x=±1.40，根據題意得到x=-1.40，再計算-1.40-（-2.5）=1.1，所以乙球員想要成功封蓋甲球員的這次投籃，他離甲球員的距離至多要1.1米．
點評：本題考查了二次函數的應用：先通過題意確定出二次函數的解析式，然后根據二次函數的性質解決問題；實際問題中自變量x的取值要使實際問題有意義，因此在求二次函數的最值時，一定要注意自變量x的取值范圍．