Question

【題目】如圖①，已知拋物線(xiàn)y=ax2+bx+3（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A（1，0）和點(diǎn)B（﹣3，0），與y軸交于點(diǎn)C．

（1）求拋物線(xiàn)的解析式；
（2）設(shè)拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸與x軸交于點(diǎn)M，問(wèn)在對(duì)稱(chēng)軸上是否存在點(diǎn)P，使△CMP為等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）如圖②，若點(diǎn)E為第二象限拋物線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)，連接BE、CE，求四邊形BOCE面積的最大值，并求此時(shí)E點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵拋物線(xiàn)y=ax2+bx+3（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A（1，0）和點(diǎn)B（﹣3，0），

∴

解得：

∴所求拋物線(xiàn)解析式為：

y=﹣x2﹣2x+3

（2）

解：∵拋物線(xiàn)解析式為：

y=﹣x2﹣2x+3，

∴其對(duì)稱(chēng)軸為x= =﹣1，

∴設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，a），當(dāng)x=0時(shí)，y=3，

∴C（0，3），M（﹣1，0）

∴當(dāng)CP=PM時(shí)，（﹣1）2+（3﹣a）2=a2，解得a= ，

∴P點(diǎn)坐標(biāo)為：P1（﹣1， ）；

∴當(dāng)CM=PM時(shí)，（﹣1）2+32=a2，解得a=± ，

∴P點(diǎn)坐標(biāo)為：P2（﹣1， ）或P3（﹣1，﹣ ）；

∴當(dāng)CM=CP時(shí)，由勾股定理得：（﹣1）2+32=（﹣1）2+（3﹣a）2，解得a=6，

∴P點(diǎn)坐標(biāo)為：P4（﹣1，6）

綜上所述存在符合條件的點(diǎn)P，其坐標(biāo)為P（﹣1， ）或P（﹣1，﹣ ）

或P（﹣1，6）或P（﹣1， ）

（3）

解：過(guò)點(diǎn)E作EF⊥x軸于點(diǎn)F，設(shè)E（a，﹣a2﹣2a+3）（﹣3＜a＜0）

∴EF=﹣a2﹣2a+3，BF=a+3，OF=﹣a

∴S四邊形BOCE= BFEF+ （OC+EF）OF

= （a+3）（﹣a2﹣2a+3）+ （﹣a2﹣2a+6）（﹣a）

=

= +

∴當(dāng)a=﹣ 時(shí)，S四邊形BOCE最大，且最大值為 ．

此時(shí)，點(diǎn)E坐標(biāo)為（﹣ ， ）．

【解析】（1）已知拋物線(xiàn)過(guò)A、B兩點(diǎn)，可將兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線(xiàn)的解析式中，用待定系數(shù)法即可求出二次函數(shù)的解析式；（2）可根據(jù)（1）的函數(shù)解析式得出拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸，也就得出了M點(diǎn)的坐標(biāo)，由于C是拋物線(xiàn)與y軸的交點(diǎn)，因此C的坐標(biāo)為（0，3），根據(jù)M、C的坐標(biāo)可求出CM的距離．然后分三種情況進(jìn)行討論：①當(dāng)CP=PM時(shí)，P位于CM的垂直平分線(xiàn)上．求P點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)鍵是求P的縱坐標(biāo)，過(guò)P作PQ⊥y軸于Q，如果設(shè)PM=CP=x，那么直角三角形CPQ中CP=x，OM的長(zhǎng)，可根據(jù)M的坐標(biāo)得出，CQ=3﹣x，因此可根據(jù)勾股定理求出x的值，P點(diǎn)的橫坐標(biāo)與M的橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)為x，由此可得出P的坐標(biāo)．②當(dāng)CM=MP時(shí)，根據(jù)CM的長(zhǎng)即可求出P的縱坐標(biāo)，也就得出了P的坐標(biāo)（要注意分上下兩點(diǎn)）．③當(dāng)CM=CP時(shí)，因?yàn)镃的坐標(biāo)為（0，3），那么直線(xiàn)y=3必垂直平分PM，因此P的縱坐標(biāo)是6，由此可得出P的坐標(biāo)；（3）由于四邊形BOCE不是規(guī)則的四邊形，因此可將四邊形BOCE分割成規(guī)則的圖形進(jìn)行計(jì)算，過(guò)E作EF⊥x軸于F，四邊形BOCE的面積=三角形BFE的面積+直角梯形FOCE的面積．直角梯形FOCE中，F(xiàn)O為E的橫坐標(biāo)的絕對(duì)值，EF為E的縱坐標(biāo)，已知C的縱坐標(biāo)，就知道了OC的長(zhǎng)．在三角形BFE中，BF=BO﹣OF，因此可用E的橫坐標(biāo)表示出BF的長(zhǎng)．如果根據(jù)拋物線(xiàn)設(shè)出E的坐標(biāo)，然后代入上面的線(xiàn)段中，即可得出關(guān)于四邊形BOCE的面積與E的橫坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可求得四邊形BOCE的最大值及對(duì)應(yīng)的E的橫坐標(biāo)的值．即可求出此時(shí)E的坐標(biāo)．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的二次函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的性質(zhì)，需要了解二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點(diǎn)：1、開(kāi)口方向2、對(duì)稱(chēng)軸 3、頂點(diǎn) 4、與x軸交點(diǎn) 5、與y軸交點(diǎn)；增減性：當(dāng)a>0時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸左邊，y隨x增大而減小；對(duì)稱(chēng)軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸左邊，y隨x增大而增大；對(duì)稱(chēng)軸右邊，y隨x增大而減小才能得出正確答案．