Question

（2010•寧夏）如圖，已知：一次函數：y=-x+4的圖象與反比例函數：（x＞0）的圖象分別交于A、B兩點，點M是一次函數圖象在第一象限部分上的任意一點，過M分別向x軸、y軸作垂線，垂足分別為M₁、M₂，設矩形MM₁OM₂的面積為S₁；點N為反比例函數圖象上任意一點，過N分別向x軸、y軸作垂線，垂足分別為N₁、N₂，設矩形NN₁ON₂的面積為S₂；
（1）若設點M的坐標為（x，y），請寫出S₁關于x的函數表達式，并求x取何值時，S₁的最大值；
（2）觀察圖形，通過確定x的取值，試比較S₁、S₂的大小．

Answer 1

【答案】分析：（1）已知M點坐標，根據M點在一次函數：y=-x+4的圖象上，代入把M點縱坐標用x表示出來，從而表示出矩形MM₁OM₂的面積為S₁；（2）觀察圖形S₁、S₂，觀察反比例函數在一次函數上方還是下方，從而比較其大小．
解答：解：（1）∵M的坐標為（x，y），M點在函數y=-x+4的圖象上，
∴y=-x+4，
∴S₁=xy=x（-x+4）=-x²+4x=-（x-2）²+4，
當x=2時，S_1最大值=4；

（2）設N（x₁，y₁），點N在反比例函數圖象上，
∴S₂=x₁×y₁=2，
由S₁=S₂可得：-x²+4x=2，即x²-4x+2=0，
∴，
通過觀察圖象可得：
當時，S₁=S₂，
當或2+＜x＜4時，S₁＜S₂，
當時，S₁＞S₂．
點評：此題考查一次函數和反比例函數的性質及應用，學會通過圖象比較面積的大小，比較簡單．