Question

對于二次函數y=ax²+bx+c，如果當x取任意整數時，函數值y都是整數，那么我們把該函數的圖象叫做整點拋物線（例如：y=x²+2x+2）．
（1）請你寫出一個二次項系數的絕對值小于1的整點拋物線的解析式________．（不必證明）
（2）請探索：是否存在二次項系數的絕對值小于的整點拋物線？若存在，請寫出其中一條拋物線的解析式；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）如：，等等
（只要寫出一個符合條件的函數解析式）

（2）解：假設存在符合條件的拋物線，則對于拋物線y=ax²+bx+c
當x=0時y=c，當x=1時y=a+b+c，
由整點拋物線定義知：c為整數，a+b+c為整數，
∴a+b必為整數．
又當x=2時，y=4a+2b+c=2a+2（a+b）+c是整數，
∴2a必為整數，從而a應為的整數倍，
∴|a|≥；
∴不存在二次項系數的絕對值小于的整點拋物線．
分析：（1）a和b要么同時為整數，要么同時是分母為2的分數；
（2）利用反證法證明．假設存在符合條件的拋物線，則對于拋物線y=ax²+bx+c．①當x=0時y=c，當x=1時y=a+b+c，由整點拋物線定義推知a+b必為整數；②當x=2時，y=4a+2b+c=2a+2（a+b）+c是整數，所以a應為的整數倍；綜合①②即可得到答案．
點評：本題考查了二次函數圖象上點的坐標特征．二次函數圖象上的點都在該函數的圖象上．