【題目】如圖1，等邊
中，點
、
分別在
、
上，
，連
、
．
（1）求證：
；
（2）如圖2，延長
至點
，使得
，連
，試判斷
的形狀，并說明理由；
（3）在（2）的條件下，連
，
.若
，則
______.
【答案】（1）詳見解析；（2）
【解析】
（1）先根據等邊三角形的性質得出∠BAC=∠ACD=60°，AB=AC=BC，進而得出CD=AE，即可得出結論；
（2）先由△CAD≌△ABE，判斷出∠CAD=∠ABE，進而得出∠AFE=∠ABE+∠BAD=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°，即可得出結論；
（3）先判斷出∠BAF=∠CAG，進而判斷出△ABF≌△ACG（SAS），得出∠AGC=∠AFB=180°-∠AFG=60°，判斷出AD∥CG，即可得出結論．
解：（1）∵
是等邊三角形，∴
，
，
∵
，∴
，
在
和
中，
，∴
；
（2）由（1）知，
，∴
，
∴
，
∵
，∴
是等邊三角形；
（3）由（2）知，是等邊三角形，
∴
，
，∴
，
在
和
中，
，
∴
，∴
，
∴
，∴
，
∵
，∴.
科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】已知正方形ABCD中，E為對角線BD上一點，過E點作EF⊥BD交BC于F，連接DF，G為DF中點，連接EG，CG．
（1）請問EG與CG存在怎樣的數量關系，并證明你的結論；
（2）將圖①中△BEF繞B點逆時針旋轉45°，如圖②所示，取DF中點G，連接EG，CG．問（1）中的結論是否仍然成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由．
（3）將圖①中△BEF繞B點旋轉任意角度，如圖③所示，再連接相應的線段，問（1）中的結論是否仍然成立？（請直接寫出結果，不必寫出理由）
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝16 cm，AD為BC邊上的高，動點P從點A出發，沿A→D方向以
cm/s的速度向點D運動，過P點作矩形PDFE(E點在AC上)，設△ABP的面積為S1，矩形PDFE的面積為S2，運動時間為t秒(0＜t＜8)．
(1)經過幾秒鐘后，S1＝S2?
(2)經過幾秒鐘后，S1＋S2最大？并求出這個最大值．
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】已知關于x的一元二次方程（a+1）x2+2bx+（a+1）=0有兩個相等的實數根，下列判斷正確的是（ ）
A. 1一定不是關于x的方程x2+bx+a=0的根
B. 0一定不是關于x的方程x2+bx+a=0的根
C. 1和﹣1都是關于x的方程x2+bx+a=0的根
D. 1和﹣1不都是關于x的方程x2+bx+a=0的根
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】小明在學習過程中，對教材中的一個有趣問題做如下探究：
（習題回顧）已知：如圖1，在△ABC中，∠ACB=90°，AE是角平分線，CD是高，AE、CD相交于點F．求證：∠CFE=∠CEF；
（變式思考）如圖2，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB邊上的高，若△ABC的外角∠BAG的平分線交CD的延長線于點F，其反向延長線與BC邊的延長線交于點E，則∠CFE與∠CEF還相等嗎？說明理由；
（探究廷伸）如圖3，在△ABC中，在AB上存在一點D，使得∠ACD=∠B，角平分線AE交CD于點F．△ABC的外角∠BAG的平分線所在直線MN與BC的延長線交于點M．試判斷∠M與∠CFE的數量關系，并說明理由．
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】定義：如果經過三角形一個頂點的線段把這個三角形分成兩個小三角形，其中一個三角形是等腰三角形，另外一個三角形和原三角形的三個內角分別相等，那么這條線段稱為原三角形的“和諧分割線”，例如：如圖1，等腰直角三角形斜邊上的中線就是一條“和諧分割線”.
（1）判斷（對的打“√”，錯的打“×”）
①等邊三角形存在“和諧分割線”（ ）
②如果三角形中有一個角是另一個角的兩倍，則這個三角形必存在“和諧分割線”（ ）
（2）如圖2，Rt△ABC，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝6，請用尺規畫出“和諧分割線”，并計算“和諧分割線”的長度．
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，直線a∥b，△ABC是等邊三角形，點A在直線a上，邊BC在直線b上，把△ABC沿BC方向平移BC的一半得到△A′B′C′（如圖①）；繼續以上的平移得到圖②，再繼續以上的平移得到圖③，…；請問在第100個圖形中等邊三角形的個數是 ．
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，等邊三角形ABC中，D、E分別是AB、AC的中點，延長BC至點F，使CF =
BC，連接DE、CD、EF．
（1）求證：四邊形DCFE是平行四邊形；
（2）若等邊三角形ABC的邊長為a，寫出求EF長的思路．
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