Question

（本題9分）兩個全等的直角三角形ABC和DEF重疊在一起，其中∠A=60°，AC=1. 固定△ABC不動，將△DEF進行如下操作：

 （1）如圖1，△DEF沿線段AB向右平移（即D點在線段AB內移動），連結DC、CF、FB，四邊形CDBF的形狀在不斷的變化，但它的面積不變化，請求出其面積.

（2）如圖2，當D點移到AB的中點時，請你猜想四邊形CDBF的形狀，并說明理由.

（3）如圖3，△DEF的D點固定在AB的中點，然后繞D點按順時針方向旋轉△DEF，使DF落在AB邊上，此時F點恰好與B點重合，連結AE，請你求出sinAED的值.

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）四邊形CDBF是菱形；

（3） sinα== 。

【解析】此題主要考查了菱形的判定，綜合運用直角三角形的性質和平移的性質進行分析計算，考查學生綜合運用數學知識的能力．

（1）過點C作CG⊥AB于G

在Rt△ACG中  ∵∠A＝60°

∴sin60°＝，得到結論。

（2）根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半和平移的性質，即可得到該四邊形的四條邊都相等，則它是一個菱形；

（3）在Rt△ABE中   

∴過點D作DH⊥AE  垂足為H

則△ADH∽△AEB    得到相似比求解得到。

（1）過點C作CG⊥AB于G

在Rt△ACG中  ∵∠A＝60°

∴sin60°＝  ∴  ……………1分

在Rt△ABC中   ∠ACB＝90°∠ABC＝30°

∴AB=2   …………………………………………2分

∴………3分

（2）菱形………………………………………4分

∵D是AB的中點  ∴AD=DB=CF=1

在Rt△ABC中，CD是斜邊中線  ∴CD=1……5分

同理 BF=1    ∴CD=DB=BF=CF

∴四邊形CDBF是菱形…………………………6分

（3）在Rt△ABE中   

∴……………………………7分

過點D作DH⊥AE  垂足為H

則△ADH∽△AEB    ∴

即   ∴ DH=   ……8分

在Rt△DHE中 

sinα==…=  …………………9分