Question

如圖所示，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC．
（1）P，E，F分別是BC，AC，BD的中點，求證：AB=PE+PF；
（2）如果P是BC上的任意一點（中點除外），PE∥AB，PF∥DC，那么AB=PE+PF，這個結論還成立嗎？如果成立，請證明；若不成立，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由P，E，F分別是BC，AC，BD的中點，很容易想到中點連成中位線，利用三角形中位線定理和AB=CD，結論可證．
（2）P是BC上的任意一點（中點除外），PE∥AB，PF∥DC，有此關系，說明AB=PE+PF是否成立，首先想到平行線分線段成比例定理，列出線段的比例關系，

PE

AB

=

PC

BC

①，

PF

CD

=

PC

BC

②，利用合理的等式變形，①②的左邊+左邊=右邊+右邊，可得

PE+PF

AB

=1，從而問題得到解決．

解答：（1）證明：∵P，E，F分別為中點，
∴PE=

1

2

AB，PF=

1

2

CD．（三角形中位線定理）
∴PE+PF=

1

2

（AB+CD）．
又∵AB=CD，
∴AB=PE+PF．

（2）成立．
∵PE∥AB，PF∥CD，
∴

PE

AB

=

PC

BC

，

PF

CD

=

PB

BC

，（平行線分線段成比例定理）
∵AB=CD
∴

PE

AB

+

PF

CD

=

PC

BC

+

PB

BC

∴

PE+PF

AB

=

PC+PB

BC

=

BC

BC

=1，
∴

PE+PF

AB

=1，
∴PE+PF=AB．

點評：此題主要考查三角形中位線定理和平行線分線段成比例定理的理解及運用．等式的合理變形也是問題解決的好方法．