Question

如圖，已知AB是⊙O的弦，C是⊙O上的一個動點，連接AC、BC，∠C=60°，⊙O的半徑為2，則△ABC面積的最大值是（ ）

A．
B．
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：過C作CM⊥AB于M，要使△ACB的面積最大，只要CM取最大值即可，畫出CM，求出等邊三角形ABC，求出AB和CM，關鍵三角形的面積公式求出即可．
解答：解：過C作CM⊥AB于M，
∵弦AB已確定，
∴要使△ACB的面積最大，只要CM取最大值即可，
如圖所示，當CM過圓心O時，CM最大，
∵CM⊥AB，CM過O，
∴AM=BM（垂徑定理），
∴AC=BC，
∵∠ACB=60°，
∴△ABC是等邊三角形，
設AB=BC=AC=a，
則AM=BM=a，由勾股定理得：CM=a，
在Rt△OBM中，OB=2，OM=a-2，bm=a，由勾股定理得：（a-2）²+（a）²=2²，
a=2，
即AB=2，CM=3，
則△ABC的面積是×AB×CM=×2×3=3，
故選A．
點評：本題考查了等邊三角形的性質和判定，三角形的面積，勾股定理，垂徑定理等等知識點的綜合運用．