Question

記第一個數為a₁，記第二個數為a₂，…，第n個數為a_n．若a₁=3²-1²，a₂=5²-3²，a₃=7²-5²…．
（1）根據你所發現的規律，用含n的式子表示a_n （n為大于0的自然數）；
（2）先化簡a_n，并用文字語言表述你發現的結論；
（3）兩個數1000、2010是否在a_n中？如在，請指出是第幾個數．

Answer 1

解：（1）∵a₁=3²-1²，a₂=5²-3²，a₃=7²-5²，
∴a_n=（2n+1）²-（2n-1）²；

（2）a_n=（2n+1）²-（2n-1）²=（2n+1+2n-1）（2n+1-2n+1）=8n，
結論：第n個數a_n的值是n的8倍；

（3）∵1000÷8=125，
∴1000是第125個數．
∵2010÷8=，
∴2010是不在a_n中．
分析：（1）首先觀察a₁=3²-1²，a₂=5²-3²，a₃=7²-5²，即可求得a_n=（2n+1）²-（2n-1）²；
（2）利用平方差公式即可求得a_n=8n，即第n個數a_n的值是n的8倍；
（3）分別將1000、2010除以8，即可判定兩個數1000、2010是否在a_n中．
點評：此題考查了數字的規律性問題，解題的關鍵是找到規律：a_n=（2n+1）²-（2n-1）²．