Question

某公園有一個拋物線形狀的觀景拱橋ABC，其橫截面如圖所示，在圖中建立的直角坐標系中，拋物線的解析式為且過頂點C（0，5）（長度單位：m）
（1）現因搞慶典活動，計劃沿拱橋的臺階表面鋪設一條寬度為1.5m的地毯，地毯的價格為20元/m²，求購買地毯需多少元？
（2）在拱橋加固維修時，搭建的“腳手架”為矩形EFGH（H、G分別在拋物線的左右側上），并增加鋪設斜面EG和HF，已知矩形EFGH的周長為27.5m，求增加斜面的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）求出拋物線與x軸交點的坐標，AB的長度即可求得，再由已知頂點C的坐標，根據平移的性質求得地毯的總長度，進一步求得面積解決問題；
（2）設出拋物線點G的坐標，分別表示出矩形的長和寬，并利用矩形的周長求得長和寬，進一步利用矩形的性質及勾股定理解答問題．
解答：解：（1）因為頂點C（0，5），c=5，所以OC=5，
令y=0，即，
解得x₁=10，x₂=-10，
∴AB=10-（-10）=20，
∴地毯的總長度為：AB+2OC=20+2×5=30，
∴30×1.5×20=900（元）．
答：購買地毯需要900元．

（2）設G的坐標為，其中m＞0，
則．
由已知得：2（EF+GF）=27.5，
即，
解得：m₁=5，m₂=35（不合題意，舍去），
把m₁=5代入=．
∴點G的坐標是（5，3.75）．
∴EF=10，GF=3.75；
∴，
又∵EG=HF，
∴．
答：斜面的長為．
點評：此題主要考查二次函數圖象與坐標軸交點坐標，矩形的性質，勾股定理，是一道數形結合的好題．