Question

將自然數1至6分別寫在一個正方體的6個面上，然后把任意相鄰兩個面上的數之和寫在這兩個面的公共棱上．則在這個正方體中所有棱上的數的最小值和最大值分別是（ ）
A．7，9
B．6，9
C．7，10
D．6，10

Answer 1

【答案】分析：棱上的數可能是3，4，5，6，7，8，9，10，11這9個數中的幾個．
解答：證明：
①根據題意，相鄰兩面上的數相加，正方體每個面都有4個相鄰面，
所以：每個面的數字都是加4遍；
1、2、3、4、5、6這6個數的和為21；
所以：不論數字怎么擺放，12條棱12個數字的和恒等于：4×21=84

這6個數任取2個相加，只有9個不重復的數字：3，4，5，6，7，8，9，10，11
所以：根據“抽屜原理”，12條棱的數字至少重復3個．
即：棱上不同和數的個數最多9個！

②9個和數3，4，5，6，7，8，9，10，11分解：
3=1+2
4=1+3
5=1+4=2+3[可重復1次]
6=1+5=2+4[可重復1次]
7=1+6=2+5=3+4[可重復2次]
8=2+6=3+5[可重復1次]
9=3+6=4+5[可重復1次]
10=4+6
11=5+6
如果所有重復的情況都出現，這些重復的數字的和為：
2*（5+6+8+9）+3*7=56+21=77
12個和數字的和恒為84，剩余一個和數=84-77=7，而7已經被重復了2次，不可能再出現．
所以這種情況不成立．
所以最多只能重復5次．

即：棱上和數最少7個．
故選A．
點評：本題主要考查對幾個數的和的大小討論．