Question

【題目】已知關于x的一元二次方程2x2+4x+k-1=0有實數根，k為正整數.

（1）求k的值；

（2）當此方程有兩個非零的整數根時，將關于x的二次函數y=2x2+4x+k-1的圖象向下平移8個單位，求平移后的圖象的解析式；

(3) 在（2）的條件下，將平移后的二次函數的圖象在x軸下方的部分沿x軸翻折，圖象的其余部分保持不變，得到一個新的圖象.請你結合這個新的圖像回答：當直線y=0.5x+b (b<k)與此圖象有兩個公共點時，b的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）k＝1，2，3；

（2）圖象的解析式為y＝2x2＋4x－6；

（3）b(b＜3)的取值范圍為-0.5<b<1.5．

【解析】解：(1)由題意得，Δ＝16－8(k－1)≥0．∴k≤3．∵k為正整數，∴k＝1，2，3．

(2)當k＝1時，方程2x2＋4x＋k－1＝0有一個根為零；

當k＝2時，方程2x2＋4x＋k－1＝0無整數根；

當k＝3時，方程2x2＋4x＋k－1＝0有兩個非零的整數根．

綜上所述，k＝1和k＝2不合題意，舍去；k＝3符合題意．

當k＝3時，二次函數為y＝2x2＋4x＋2，把它的圖象向下平移8個單位長度得到的圖象的解析式為y＝2x2＋4x－6．

(3)設二次函數y＝2x2＋4x－6的圖象與x軸交于A、B兩點，則A(－3，0)，B(1，0)．

依題意翻折后的圖象如圖所示．

當直線y=0.5x+b經過A點時，可得b=1.5；

當直線y=0.5x+b經過B點時，可得-0.5．

由圖象可知，符合題意的b(b＜3)的取值范圍為-0.5<b<1.5．