Question

如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，BC=2AD，F(xiàn)、G分別為邊BC、CD的中點(diǎn)，連接AF，F(xiàn)G，過(guò)D作DE∥GF交AF于點(diǎn)E．
（1）證明△AED≌△CGF；
（2）若梯形ABCD為直角梯形，判斷四邊形DEFG是什么特殊四邊形？并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）由已知得到平行四邊形AFCD，推出∠FAD=∠C，∠DEA=∠FGC，根據(jù)AAS即可證出答案；
（2）連接DF，BC=2AD、點(diǎn)F為BC中點(diǎn)，推出AD=BF，證出矩形ABFD，得到∠ADF=∠DFC=90°，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)推出DE=FG，得到平行四邊形DEFG，證出鄰邊DG=FG，即可推出答案．

解答：（1）證明；∵BC=2AD、點(diǎn)F為BC中點(diǎn)
∴CF=AD，
∵AD∥CF，
∴四邊形AFCD為平行四邊形
∴∠FAD=∠C，AF∥CD，
∴∠FAD=∠C
∵DE∥FG，
∴∠DEA=∠AFG，
∴∠DEA=∠FGC，
∵在△AED和△CGF中

∠DAE=∠C ∠AED=∠FGC AD=CF

，
∴△AED≌△CGF（AAS）．

（2）菱形．
證明：連接DF，
∵BC=2AD、點(diǎn)F為BC中點(diǎn)，
∴AD=BF，
∵AD∥BF，∠B=90°，
∴四邊形ABFD是矩形，
∴∠ADF=∠DFC=90°，
∵△AED≌△CGF，
∴AE=CG，
∵四邊形AFCD是平行四邊形，
∴CD∥AF，
∵DE∥FG，
∴四邊形DEFG是平行四邊形，
又∵∠DFC=90°，點(diǎn)G為DC中點(diǎn)，
∴FG=DG，
∴平行四邊形DEFG為菱形．
答：四邊形DEFG是菱形．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了梯形，平行四邊形的性質(zhì)和判定，矩形的性質(zhì)和判定，直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)，菱形的判定，全等三角形的判定等知識(shí)點(diǎn)，解此題的關(guān)鍵是熟練地運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行證明．此題較好，比較典型．