Question

【題目】如圖，已知點B在線段AC上，點E在線段BD上，∠ABD=∠DBC，AB=DB，EB=CB，M，N分別是AE，CD的中點，現有如下結論：①∠ABD=∠BDN；②MB=NB；③MB⊥NB；④S△ABM=S△BCN，其中正確的結論是 （只填序號）．

Answer 1

【答案】②③④

【解析】

試題分析：①由三角形內最多只有一個直角得出該結論不成立；

②通過證明△ABE≌△DBC得出AE=DC，根據直角三角形斜邊上中線的特點，可得出結論成立；

③通過證明△ABM≌△DBN得出∠DBN=∠ABM，通過等量替換得出結論成立；

④由②中的三角形全等可知其面積也相等，故其面積的一半也相等，結論成立．

解：①∵∠ABD=∠DBC，且點B在線段AC上，

∴∠ABD=∠DBC=180°÷2=90°，

在△BDC中，∠DBC=90°

∴∠BDN=∠BDC＜90°（三角形中最多只有一個直角存在），

∴∠ABD≠∠BDN，

即①不成立．

②在直角△ABE與直角△DBC中，，

∴△ABE≌△DBC（SAS），

∴AE=DC，

又M，N分別是AE，CD的中點，

∴BM=AE，BN=DC，

∴BM=BN，

即②成立．

③在△ABM和△DBN中，，

∴△ABM≌△DBN，

∴∠DBN=∠ABM，

∴∠MBN=∠MBD+∠DBN=∠MBD+∠ABM=∠ABD=90°，

∴MB⊥NB，

即③成立．

④∵M，N分別是AE，CD的中點，

∴S△ABM=S△ABE，S△BCN=S△DBC，

由②得知，△ABE≌△DBC，

∴S△ABM=S△BCN，

即④成立．

故答案為：②③④．