Question

如圖，等邊三角形ABC的邊長為8cm，動點P從點A出發以2cm/秒的速度沿AC方向向終點C運動，同時動點Q從點C出發以1cm/秒的速度沿CB方向向終點B運動，過點P、Q分別作邊AB的垂線段PM、QN，垂足分別為點M、N．
設P、Q兩點運動時間為t秒（0＜t＜4），四邊形MNQP的面積為Scm²．
（1）當點P、Q在運動的過程中，t為何值時，△PCQ是直角三角形？
（2）求四邊形MNQP的面積S隨運動時間t變化的函數關系式．
（3）是否存在某一時刻t，使四邊形MNQP的面積S等于△ABC的面積的

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？若存在，求出此時t的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用當PC=2CQ時以及當2PC=CQ時，△PCQ是直角三角形分別求出即可；
（2）△APM和△BQN都是有一個角是60°的直角三角形，根據勾股定理可分別求出AM，PM，BN和QN，然后求出直角梯形的高MN．用梯形面積公式求出四邊形MNQP的面積S隨運動時間t變化的函數關系式．
（3）根據題意確定一個等量關系，列出方程即可解得t的值，然后看是否滿足0＜t＜4．

解答：解：（1）假設△PCQ為直角三角形，
①∵∠C=60°，
∴PC=2CQ
∴8-2t=2t，
解得t=2，
當t=2時，△PCQ是直角三角形；
②當2PC=CQ時，
由PC=2CQ可得：2（8-2t）=t，
解得t=

16

5

，
∴當t=

16

5

時，△PCQ是直角三角形；
綜上所述：t=2或

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5

時，△PCQ是直角三角形；


（2）根據題意得，AP=2t，QB=8-t，△APM和△QNB是直角三角形，四邊形MNQP是直角梯形．
在Rt△APM和Rt△QNB中PM=

3

t，AM=t，BN=

1

2

(8-t)，QN=

3

2

(8-t)，
所以MN=AB-AM-BN=4-

1

2

t，S=

1

2

(PM+QN)MN，
S=

1

2

[

3

t+

3

2

(8-t)]×(4-

1

2

t) S=-

3

8

t2+8

3

；

（3）假設存在某一時刻t，使四邊形MNQP的面積S等于△ABC的面積的

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16

，
即S=

7

16

S_△ABC，-

3

8

t2+8

3

=

7

16

×

1

2

×8×4

3

，
整理得：t²=8，
解得，t1=2

2

，t2=-2

2

（舍去），
答：當t=2

2

時，四邊形MNQP的面積S等于△ABC的面積的

7

16

．

點評：本題綜合考查了正三角形的性質和直角三角形的性質，把函數和面積融合在一起，比較復雜，檢測學生的計算能力．