Question

在四邊形ABCD中，對角線AC，BD交于點O，點P是在線段BC上任意一點（與點B不重合），∠BPE＝∠BCA，PE交BO于點E，過點B作BF⊥PE，垂足為F，交AC于點G．

      

⑴ 若ABCD為正方形，

① 如圖⑴，當點P與點C重合時．△BOG是否可由△POE通過某種圖形變換得到？證明你的結論；

② 結合圖⑵求的值；

⑵ 如圖⑶，若ABCD為菱形，記∠BCA＝，請探究并直接寫出的值．（用含的式子表示）

 

Answer 1

【答案】

（1）①△BOG可由△POE繞點O順時針旋轉90°得到

②＝  （2）＝tanα

【解析】

試題分析：⑴ 解：△BOG可由△POE繞點O順時針旋轉90°得到．

 

證明：如圖，∵四邊形ABCD是正方形，P與C重合，

∴OB=OP，∠BOC=∠BOG=90°．

∵PF⊥BG，∠PFB=90°，

∴∠GBO=90°－∠BGO，

∠EPO=90°－∠BGO，

∴∠GBO=∠EPO，∴△BOG≌△POE．

∴OE=OG，

又∵∠EOG=90°，

∴將線段OE繞點O順時針旋轉90°就得到OG．

又∵OB=OP，∠POB=90°，

∴將線段OP繞點O順時針旋轉90°就得到OB．

∴△BOG可由△POE繞點O順時針旋轉90°得到．

⑵ 解法一：如圖，作PM//AC交BG于M，交BO于N，

∴∠PNE=∠BOC=90°，∠BPN=∠OCB，

∵∠OBC=∠OCB=45°，∴∠NBP=∠NPB，

∴NB=NP．

∵∠MBN=90°－∠BMN， ∠NPE=90°－∠BMN，

∴∠MBN=∠NPE，

∴△BMN≌△PEN，

∴BM=PE．

∵∠BPE=∠ACB，∠BPN=∠ACB，

∴∠BPF=∠MPF．

∵PF⊥BM，∴∠BFP=∠MFP=90°．

又∵PF=PF， ∴△BPF≌△MPF，

∴BF="MF" ，即BF=BM，

∴BF=PE， 即＝．

解法二：如圖，作CM//PF交BG于M，交BO于N，

∴，

且∠BPE=∠BCM，

∵∠BPE=∠ACB，

∴∠BCM=∠GCM，

∵CM//PF，PF⊥BG，∴CM⊥BG，

∴∠CMB=∠CMG=90°．

又∵CM=CM，∴△BCM≌△GCM，

∴BM=MG，即BM=BG，

又由⑴得，BG=CN．

∴．

⑶

如圖，過點P作PM∥AC，交BG于M，交BO于N

∴∠BAC=∠BPM=α,又∠BPE＝∠BCA，

∴∠MPF=∠BPF,又∵PF⊥BG,PF=PF

∴△BPF≌△MPF

∴MF=BF

∵四邊形ABCD是菱形，所以AC⊥BD

∵MP∥AC, ∴MP⊥BD

∴∠MNB=∠ENP

∵∠NEP=∠FEB

又∠FBE+∠FEB=90°=∠NPE+∠NEP

∴∠FBE=∠NPE

∴△BMN∽≌△PEN

∴

∵BM=2BF,在RT△BNP中，又∠BAC=∠BPM=α

∴=tanα

∴＝tanα

考點：菱形的性質、全等三角形、等腰三角形的性質、三角函數、圖形變換

點評：幾何綜合題，中考壓軸題種類， 難度系數較大，考查學生對幾何綜合知識的掌握程度和分析、解決問題的能力。