Question

已知：圖1是一塊學生用直角三角板，其中∠A′=30°，三角板的邊框為透明塑料制成（內、外直角三角形對應邊互相平行且三處所示寬度相等）．將直徑為4cm的⊙O移向三角板，三角板的內ABC的斜邊AB恰好等于⊙O的直徑，它的外△A′B′C′的直角邊A′C′ 恰好與⊙O相切（如圖2），則邊B′C′的長為         cm．

Answer 1

3＋

解析試題分析：過O作OD⊥A′C′于D，交AC于E，由AC與A′C′，根據與平行線中的一條直線垂直，與另一條也垂直，得到OD與AC垂直，可得DE為三角尺的寬，由A′C′與圓O相切，根據切線的性質得到OD為圓的半徑，根據直徑AB的長，求出半徑OA，OB及OD的長，在直角三角形AOE中，根據∠A=30°，利用直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半可得出OE等于OA的一半，由OA的長求出OE的長，再由OD-OE求出DE的長，即為三角尺的寬；設直線AC交A′B′于M，交B′C′于N，過A點作AH⊥A′B′于H，則有∠AMH=30°，AH=1，得到AM=2AH=2，可計算出MN的長，在Rt△MB′N中利用含30°的直角三角形三邊的關系即可求得結果.
過O作OD⊥A′C′于D，交AC于E，

∵AC∥A′C′，
∴AC⊥OD，
∵A′C′與⊙O相切，AB為圓O的直徑，且AB=4cm，
∴OD=OA=OB=AB=×4=2（cm），
在Rt△AOE中，∠A=30°，
∴OE=OA=×2=1（cm），
∴DE=OD-OE=2-1=1（cm）
則三角尺的寬為1cm
設直線AC交A′B′于M，交B′C′于N，過A點作AH⊥A′B′于H，
則有∠AMH=30°，AH=1，得到AM=2AH=2，
∴MN=AM+AC+CN=3+2，
在Rt△MB′N中，
∵∠B′MN=30°，
∴B′N=NM=+2，
∴B′C′=B′N+NC′=3＋.
考點：切線的性質，含30°直角三角形的性質，平行線的性質
點評：解題的關鍵是熟練掌握當直線與圓相切時，圓心到切線的距離等于圓的半徑.