Question

如圖，已知拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A（2，3），B（6，1），C（0，-2）．
（1）求此拋物線的解析式，并用配方法把解析式化為頂點(diǎn)式；
（2）點(diǎn)P是拋物線對(duì)稱軸上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)AP⊥CP時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）設(shè)直線BC與x軸交于點(diǎn)D，點(diǎn)H是拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)，點(diǎn)E（t，n）是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，四邊形OEDC的面積為S．當(dāng)S取何值時(shí)，滿足條件的點(diǎn)E只有一個(gè)？當(dāng)S取何值時(shí)，滿足條件的點(diǎn)E有兩個(gè)？

Answer 1

分析：（1）將A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)代入y=ax²+bx+c中，列方程組求拋物線解析式，再用配方法求頂點(diǎn)式；
（2）當(dāng)AP⊥CP時(shí)，分別過A、C兩點(diǎn)作對(duì)稱軸的垂線，垂足為A′，C′，利用互余關(guān)系得角相等，證明△AA′P∽△PC′C，利用相似比求P點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）分別求出點(diǎn)E為拋物線頂點(diǎn)，E，B重合時(shí)，圖形的面積，當(dāng)E點(diǎn)為拋物線頂點(diǎn)時(shí)，滿足條件的點(diǎn)E只有一個(gè)，
當(dāng)S介于這兩個(gè)面積之間時(shí)，滿足條件的點(diǎn)E有兩個(gè)．

解答：解：（1）將A，B，C三點(diǎn)坐標(biāo)代入y=ax²+bx+c中，得

4a+2b+c=3 36a+6b+c=1 c=-2

，
解得

a=- 1 2 b= 7 2 c=-2

，
∴y=-

1

2

x²+

7

2

x-2=-

1

2

（x-

7

2

）²+

33

8

；

（2）設(shè)點(diǎn)P（

7

2

，m），分別過A、C兩點(diǎn)作對(duì)稱軸的垂線，垂足為A′，C′，
∵AP⊥CP，
∴△AA′P∽△PC′C，
可得

AA′

PC′

=

A′P

CC′

，即

7 2 -2

m+2

=

3-m

7 2

，
解得m₁=

3

2

，m₂=-

1

2

，
∴P（

7

2

，

3

2

）或（

7

2

，-

1

2

）；

（3）①由B（6，1），C（0，-2），得直線BC的解析式為y=

1

2

x-2，
∴D（4，0），
當(dāng)E點(diǎn)為拋物線頂點(diǎn)時(shí)，滿足條件的點(diǎn)E只有一個(gè)，
此時(shí)S=

1

2

×4×2+

1

2

×4×

33

8

=

49

4

，
∵S_△BOC=

1

2

×2×6=6，
∴當(dāng)6≤S＜

49

4

時(shí)，滿足條件的點(diǎn)E有兩個(gè)．
②當(dāng)4＜S＜6時(shí)，-

1

2

x²+

7

2

x-2=0的△＞0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，此時(shí)0＜n＜1，
需滿足的條件點(diǎn)E只能在點(diǎn)H與點(diǎn)B之間的拋物線上，
故此時(shí)滿足條件的點(diǎn)E只有一個(gè)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的綜合運(yùn)用．關(guān)鍵是根據(jù)已知條件求拋物線解析式，根據(jù)拋物線的對(duì)稱性，相似三角形的知識(shí)解題．