Question

如圖，在矩形ABCD中，AB=6米，BC=8米，動點P以2米/秒的速度從點A出發(fā)，沿AC向點C移動，同時動點O以1米/秒的速度從點C出發(fā)，沿CB向點B移動，設P、O兩點移動t秒（0＜t＜5）后，四邊形ABOP的面積為S平方米．
（1）求cos∠ACB的值；
（2）求面積S與時間t的關系式；
（3）在P、O兩點移動的過程中，能否使△CPO與△ABC相似？若能，求出此時點P的位置；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用解直角三角形的性質，cos∠ACB等于∠ACB的鄰邊除以斜邊得出即可；
（2）首先表示出△POC的面積，再利用△ABC減去△POC的面積即可得出答案．
（3）根據△CPO與△ABC相似，則要考慮以下2種情況：①∠POC=90°，②∠OPC=90°，分別求出即可．
解答：解：（1）∵在矩形ABCD中，AB=6米，BC=8米，
∴AC==10m，
∴cos∠ACB===，

（2）過點P作PF⊥BC，
∴PF∥AB，
∴=，
∵動點P以2米/秒的速度從點A出發(fā)，沿AC向點C移動，同時動點O以1米/秒的速度從點C出發(fā)，
∴=，
∴PF=，
∴S_△POC=×t×=，
∴四邊形ABOP的面積為：S=×6×8-=t²-3t+24；

（3）若△CPO與△ABC相似，則有以下2種情況：
①∠POC=90°
∵∠ABC=90°，
∴PO∥AB，
∴=，
∴=，
解得：，
此時，PO=，OB=，
∴；
②∠OPC=90°
過P作OP⊥AC于P，
∴=，
∴
解得，，
此時，PE=，BE=
∴，
綜上所述，滿足條件的P點的坐標為 或 ．
點評：此題主要考查了相似三角形的判定和性質，勾股定理、三角形的面積計算、點的坐標等知識點，要注意第三問中，要分對應角的不同來得出不同的對應線段成比例，從而得出運動時間的值．不要忽略掉任何一種情況．