Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC為矩形，點(diǎn)A、點(diǎn)C分別在y軸、x軸的正半軸上，OA，OC的長分別是方程x2-7x+12=0的兩根（OA＜OC）．P為直線AB上一動點(diǎn)，直線PQ⊥OP交直線BC于點(diǎn)Q．

（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；

（2）當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上運(yùn)動（不與A，B重合）時，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，線段CQ的長度為l．求出l關(guān)于m的函數(shù)解析式；

（3）在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)D，使以O、P、Q、D為頂點(diǎn)的四邊形為正方形？若存在，請直接寫出D點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）B（4，3）；(2) ；（3）存在，D（3，-1）或（-3，7）.

【解析】

（1）通過解方程求出線段的長度，利用矩形的性質(zhì)得到AB=4，BC=3，求得B（4，3）；

（2）因為點(diǎn)P在線段AB上，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，用m表示出AP的長度，利用相似三角形的性質(zhì)列出比例式求出l關(guān)于m的函數(shù)解析式；

（3）如圖，過點(diǎn)D作DE⊥OC于E，由以O、P、Q、D為頂點(diǎn)的四邊形為正方形，得到OP=PQ=OD，通過三角形全等，對應(yīng)邊相等求得AP=m=1，再根據(jù)另一對三角形全等得到點(diǎn)D的坐標(biāo)．

（1）解方程x2-7x+12=0得：x1=3，x2=4，

∴OA=3，OC=4，

∴A（0，3），C（4，0），

∵四邊形OABC為矩形，

∴AB=4，BC=3，

∴B（4，3）；

（2）點(diǎn)P在線段AB上，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，

∴AP=m，

∵CQ=l，

∴BQ=3-l，

∵∠OAP=∠B=∠OPQ=90°，

∴∠APO+∠BPQ=∠APO+∠AOP=90°，

∴∠APO=∠BPQ，

∴△APO∽△BPQ，

∴，

即，

∴；

（3）存在，

如圖，過點(diǎn)D作DE⊥OC于E，

∵四邊形ODQP是正方形，

∴OP=PQ=OD，

在△AOP與△BPQ中，

，

∴△AOP≌△BPQ（AAS），

∴PB=OA=3，

∴AP=BP=1，

在△AOP與△OED中，

，

∴△AOP≌△OEP（AAS），

∴OE=AO=3，DE=AP=1，

∴D（3，-1）．

若點(diǎn)P在點(diǎn)B的右邊，同理可得D（-3，7）

綜上所述D（3，-1）或（-3，7）