Question

已知，如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE，DF分別是△ADC的高和角平分線（∠C＞∠DAC），若∠B=80°，∠C=40°．
（1）求∠DAE的度數；
（2）試猜想∠EDF、∠C與∠DAC有何關系？并說明理由．

Answer 1

解：（1）∵在△ABC中，∠B=80°，∠C=40°，
∴∠BAC=180°-80°-40°=60°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAE=∠BAC=30°；

（2）∠EDF=（∠C-∠DAC）．理由如下：
在△DAC中，∵∠ADC+∠DAC+∠C=180°，
∴∠ADC=180°-∠DAC-∠C，
∵DF平分∠ADC，
∴∠CDF=∠ADC=（180°-∠DAC-∠C），
∵DE是△ADC的高，
∴∠CDE=90°-∠C，
∴∠EDF=∠CDF-∠CDE=（180°-∠DAC-∠C）-（90°-∠C）=（∠C-∠DAC）．
故∠EDF=（∠C-∠DAC）．
分析：（1）先根據三角形內角和定理求出∠BAC的度數，再根據三角形的角平分線的定義即可求出∠DAE的度數；
（2）先根據三角形內角和定理及角平分線的定義求出∠CDF=（180°-∠DAC-∠C），再由直角三角形兩銳角互余得出∠CDE=90°-∠C，則根據∠EDF=∠CDF-∠CDE即可得出∠EDF=（∠C-∠DAC）．
點評：本題考查了三角形內角和定理，角平分線的性質，難度一般，用含∠DAC與∠C的代數式分別表示∠CDF與∠CDE，是解題的關鍵．