Question

在一次研究性學習活動中，某小組將兩張互相重合的正方形紙片ABCD和EFGH的中心O用圖釘固定住，保持正方形ABCD不動，順時針旋轉正方形EFGH，如圖所示．
（1）小組成員經觀察、測量，發現在旋轉過程中，有許多有趣的結論．下面是旋轉角度小于90°時他們得到的一些猜想：
①ME=MA；
②兩張正方形紙片的重疊部分的面積為定值；
③∠MON保持45°不變．
請你對這三個猜想作出判斷（正確的在序號后的括號內打上“√”，錯誤的打上“×”）：
①（ ）；②（ ）；③（ ）
（2）小組成員還發現：（1）中的△EMN的面積S隨著旋轉角度∠AOE的變化而變化．請你指出在怎樣的位置時△EMN的面積S取得最大值．（不必證明）
（3）上面的三個猜想中若有正確的，請選擇其中的一個給予證明；若都是錯誤的，請選擇其一說明理由．

Answer 1

【答案】分析：根據正方形的性質和旋轉的性質可知，∠OAE=∠OEA，∠MAO=∠MEO=45°，∴∠MAE=∠MEA，所以ME=MA；∠MOE+∠NOE=∠AOD=×90°=45°，即∠MON保持45°不變．并且當∠AOE=45°時，△EMN的面積S取得最大值．
解答：解：（1）①（√）；②（×）；③（√）．

（2）當∠AOE=45°時，△EMN的面積S取得最大值．

（3）證明：對于猜想①，連接OA、OE、AE、OD、ED．由已知得OA=OE，
∴∠OAE=∠OEA．
又∵∠OAM=∠OEM=45°，
∴∠OAE-∠OAM=∠OEA-∠OEM，即∠MAE=∠MEA．
∴ME=MA．
對于猜想③，證得OM平分∠EOA，同理ON平分∠DOE，
∴∠MOE+∠NOE=∠AOD=×90°=45°，即∠MON保持45°不變．
點評：本題考查旋轉的性質和正方形的性質．旋轉變化前后，對應線段、對應角分別相等，圖形的大小、形狀都不改變．正方形是特殊條件最多的圖形，它的特性要重點掌握．