Question

一家計算機專買店A型計算器每只進價12元，售價20元，多買優惠：凡是一次買10只以上的，每多買一只，所買的全部計算器每只就降低0.10元，例如，某人買20只計算器，于是每只降價0.10×（20-10）=1（元），因此，所買的全部20只計算器都按每只19元的價格購買．但是最低價為每只16元．
（1）求一次至少買多少只，才能以最低價購買？
（2）寫出專買店當一次銷售x（x＞10）只時，所獲利潤y元）與x（只）之間的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍；
（3）一天，甲買了46只，乙買了50只，店主卻發現賣46只賺的錢反而比賣50只賺的錢多，你能用數學知識解釋這一現象嗎？為了不出現這種現象，在其他優惠條件不變的情況下，店家應把最低價每只16元至少提高到多少？

Answer 1

【答案】分析：（1）設一次購買x只，由于凡是一次買10只以上的，每多買一只，所買的全部計算器每只就降低0.10元，而最低價為每只16元，因此得到20-0.1（x-10）=16，解方程即可求解；
（2）由于根據（1）得到x≤50，又一次銷售x（x＞10）只，因此得到自變量x的取值范圍，然后根據已知條件可以得到y與x的函數關系式；
（3）首先把函數變為y=-0.1x²+9x=-0.1（x-45）²+202.5，然后可以得到函數的增減性，再結合已知條件即可解決問題．
解答：解：（1）設一次購買x只，
則20-0.1（x-10）=16，
解得x=50．
∴一次至少買50只，才能以最低價購買；

（2）當10＜x≤50時，
y=[20-0.1（x-10）-12]x=-0.1x²+9x，
當x＞50時，y=（16-12）x=4x；

（3）y=-0.1x²+9x=-0.1（x-45）²+202.5，
①當10＜x≤45時，y隨x的增大而增大，即當賣的只數越多時，利潤更大．
②當45＜x≤50時，y隨x的增大而減小，即當賣的只數越多時，利潤變小．
且當x=46時，y₁=202.4，
當x=50時，y₂=200．
y₁＞y₂．
即出現了賣46只賺的錢比賣50只賺的錢多的現象．
當x=45時，最低售價為20-0.1（45-10）=16.5（元）．
∴為了不出現這種現象，在其他優惠條件不變的情況下，店家應把最低價每只16元至少提高到16.5元．
點評：本題考查了二次函數的性質在實際生活中的應用．最大銷售利潤的問題常利函數的增減性來解答，我們首先要吃透題意，確定變量，建立函數模型，然后結合實際選擇最優方案．其中要注意應該在自變量的取值范圍內求最大值（或最小值），也就是說二次函數的最值不一定在x=時取得．