Question

對于二次函數y=ax²+bx+c（a≠0），如果當x取任意整數時，函數值y都是整數，此時稱該點（x，y）為整點，該函數的圖象為整點拋物線（例如：y=x²+2x+2）．
（1）請你寫出一個二次項系數的絕對值小于1的整點拋物線的解析式

 

（不必證明）；
（2）請直接寫出整點拋物線y=x²+2x+2與直線y=4圍成的陰影圖形中（不包括邊界）所含的整點個數有

 

個．

Answer 1

分析：（1）由于二次項系數的絕對值小于1，可令a=

1

2

，則y=

1

2

x²+bx+c，再把一些整數如：±1，±2等代入，根據y值也為整數，即可寫出符合條件的拋物線的解析式，答案不唯一；
（2）觀察圖形，可得出結果．

解答：解：（1）y=

1

2

x2+

1

2

x+1，
或y=

1

2

x2+

3

2

x+1．
或y=

1

2

x2+

1

2

x+2等；

（2）觀察圖形，可知拋物線y=x²+2x+2與直線y=4圍成的陰影圖形中（不包括邊界）所含的整點有
（-1，2），（-1，3），（-2，3），（0，3），一共4個．

點評：本題（1）為開放性試題，答案不唯一．考查了學生讀題做題的能力，同時體現了數形結合的思想．