Question

如圖，已知正方形ABCD的邊長為6，以AB為直徑的⊙O交對角線AC于點F，E是⊙O上一點．
（1）求∠AEF的度數；
（2）求圖中陰影部分的面積；
（3）若AE=5，求∠AFE的正弦值．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用圓周角定理直接得出答案；
（2）利用S_陰影=S_△ABC-S_△AOF-S_扇形OBF進而得出答案；
（3）利用三角函數關系得出Sin∠AFE=Sin∠ABE進而求出答案．
解答：解：（1）連接OF．∵四邊形ABCD是正方形，AC是對角線，
∴∠CAB=45°，
∵OF=OA，∠AFO=∠CAB=45°，
∴∠AOF=90°，
∴∠AEF=∠AOF=45°；

（2）∵AB=BC=6，
∴OF=OA=r=3，∠FOB=∠AOF=90°，
∴S_陰影=S_△ABC-S_△AOF-S_扇形OBF=AB×BC-AO×OF-，
=×6²-×3²-，
=；

（3）連接BE，可得∠AFE=∠ABE
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠AEB=90°，
∴sin∠AFE=sin∠ABE=．
點評：此題主要考查了圓周角定理以及扇形的面積公式和正方形的面積等知識，熟練地應用圓周角定理以及銳角三角函數是解決問題的關鍵．