Question

如圖，在Rt△OAB中，∠B=Rt∠，OB=2AB．線段AB的垂直平分線交反比例函數y=（x＞0）的圖象于點C，D為垂足，過C作CE⊥OB于點E．當四邊形CDBE為正方形時，正方形CDBE的面積為    ．

Answer 1

【答案】分析：延長EC、DC，分別交x軸與P、F點，作CH⊥x軸于H點，設正方形CDBE的邊長為a，根據垂直平分線的性質得AB=2a，則OB=2AB=4a，且可得到DF為△OAB的中位線，所以FD=OB=2a，則FC=2a-a=a，于是CP為△FDA的中位線，CP=AD=a，在Rt△CFP中，根據勾股定理計算出PF=a，利用面積法計算出CH=a，在Rt△CFH中，根據勾股定理計算HF=a，OA=2a，所以OF=OA=a，則可確定C點坐標為（a，a），然后把C點坐標代入反比例解析式得到a²．
解答：解：延長EC、DC，分別交x軸與P、F點，作CH⊥x軸于H點，如圖，
設正方形CDBE的邊長為a，
∵FD垂直平分AB，
∴AB=2a，
∵OB=2AB，
∴OB=4a，
∵DF為△OAB的中位線，
∴FD=OB=2a，
∴FC=2a-a=a，
∴CP為△FDA的中位線，
∴CP=AD=a，
在Rt△CFP中，PF==a，
∴CH•PF=CP•CF，即CH•a=a•a，
∴CH=a，
在Rt△CFH中，HF==a，
在Rt△OAB中，OA==2a，
∴OF=OA=a，
∴OH=OF+FH=a，
∴C點坐標為（a，a），
把C（a，a）代入y=得a•a=2，解得a²=．
∴正方形CDBE的面積為．
點評：本題考查了反比例函數的綜合題：掌握反比例函數圖象上點的坐標特征和正方形的性質；熟練運用勾股定理進行幾何計算．