Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，邊長(zhǎng)為1的正方形OA₁B₁C的對(duì)角線(xiàn)A₁C和OB₁交于點(diǎn)M₁，以M₁A₁為對(duì)角線(xiàn)作第二個(gè)正方形A₂A₁B₂M₁，對(duì)角線(xiàn)A₁M₁和A₂B₂交于點(diǎn)M₂；以M₂A₁為對(duì)角線(xiàn)作第三個(gè)正方形A₃A₁B₃M₂，對(duì)角線(xiàn)A₁M₂和A₃B₃交于點(diǎn)M₃；…依此類(lèi)推，這樣作的第n個(gè)正方形對(duì)角線(xiàn)交點(diǎn)M_n的坐標(biāo)為

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

A
分析：根據(jù)正方形的性質(zhì)得到OM₁=M₁A₁，∠OM₁A₁=90°，設(shè)OM₁=M₁A₁=x，由勾股定理得到方程x²+x²=1²，解方程求出x的值，同理可以求出其它正方形的邊長(zhǎng)，進(jìn)而得到M₁的坐標(biāo)，M₂的坐標(biāo)，…，依此類(lèi)推可求出第n個(gè)正方形對(duì)角線(xiàn)交點(diǎn)M_n的坐標(biāo)．
解答：設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為1，
則正方形四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為O（0，0），C（0，1），B₁（1，1），A₁（1，0），
在正方形OA₁B₁C中，
∴OM₁=M₁A₁，∠OM₁A₁=90°，
設(shè)OM₁=M₁A₁=x，
由勾股定理得：x²+x²=1²，
解得：x=，
同理可求出OA₂=A₂M₁=，A₂M₂=，A₂A₃=，…，
根據(jù)正方形對(duì)角線(xiàn)定理得M₁的坐標(biāo)為（ ）；
同理得M₂的坐標(biāo)為（ ，）；
M₃的坐標(biāo)為（ ，），
…，
依此類(lèi)推：M_n坐標(biāo)為（ ，）=（ ，）．
故選A
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)正方形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，解一元二次方程，勾股定理等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，能根據(jù)求出的數(shù)據(jù)得到規(guī)律是解此題的關(guān)鍵．