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【題目】如圖,已知是⊙的直徑, 是⊙上一點,∠的平分線交⊙于點,交⊙的切線于點,過點,交的延長線于點

(1)求證: 是⊙的切線;

(2)若.求值.

【答案】(1)證明見解析;(2)

【解析】試題解析:試題分析:(1)作輔助線,連接OD.根據切線的判定定理,只需證DFOD即可;
(2)連接BD.根據BE、DF兩切線的性質證明BDE∽△ABE;又由角平分線的性質、等腰三角形的兩個底角相等求得ABE∽△AFD,所以BDE∽△AFD;最后由相似三角形的對應邊成比例求得連接OC,交ADG,由,設BE=2x,則AD=3x,由于BDE∽△ABE,得到比例式求得AD=3x=6,BE=2x=4,AE=AD+DE=8,根據特殊角的三角函數值即可得到結果.

試題解析:(1)證明:如圖,連結OD,
∵AD平分∠BAC,
∴∠DAF=∠DAO,
∵OA=OD,
∴∠OAD=∠ODA,
∴∠DAF=∠ODA,
∴AF∥OD,

DFAC,ODDF,
DFO的切線,

(2)連接BD,
直徑AB,
∴∠ADB=90°
OBE相切,
∴∠ABE=90°
∵∠DAB+DBA=DBA+DBE=90°
∴∠DAB=DBE,
∴∠DBE=FAD,
∵∠BDE=AFD=90°
∴△BDE∽△AFD,

連接OC,交ADG,
,設BE=2x,則AD=3x,
∵△BDE∽△ABE,
解得:x1=2,x2=-(不合題意,舍去),
AD=3x=6,BE=2x=4,AE=AD+DE=8,
sinEAB=
∴∠EAB=30°
∴∠FAB=60°

練習冊系列答案
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