Question

如圖，矩形ABCD中，AB=DC=6，AD=BC=2

3

，動點P從點A出發，以每秒1個單位長度的速度在射線AB上運動，設點P運動的時間是t秒，以AP為邊作等邊△APQ（使△APQ和矩形ABCD在射線AB的同側）．

（1）當t為何值時，Q點在線段DC上？當t為何值時，C點在線段PQ上？
（2）設AB的中點為N，PQ與線段BD相交于點M，是否存在△BMN為等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，說明理由．
（3）設△APQ與矩形ABCD重疊部分的面積為s，求s與t的函數關系式．

Answer 1

分析：（1）求出DQ，即可求出AP，即可得出答案，求出BP，求出AP即可；
（2）分為三種情況：畫出圖形，BM=MN，BN=MN．BM=BN，根據等腰三角形的性質求出即可．
（3）分為四種情況，畫出圖形，①0≤t≤4，②4＜t≤6，③6＜t＜8，④t≥8，求出各個三角形的面積，根據圖形即可得出答案．

解答：解：
（1）如圖1，當Q點在線段DC上時，
∵AD=2

3

，∠ADQ=90°，∠DAQ=90°-60°=30°，
∴設DQ=x，則AQ=2x，
∴（2

3

）²+x²=（2x）²，
∴x=2，
∴AP=4，
∴t=4，
∴當t=4秒時，Q在線段DC上．
如圖2，

∵當C在PQ上時，點P在AB延長線上，由題意得：BP=

BC

tan60°

=

2 3

3

=2，
∴AP=AB+BP=6+2=8，
∴t=8，
∴當t=8秒時，點C在線段PQ上．

（2）△BMN是等腰三角形，分為三種情況：
①
如圖3，當BN=MN時，
∵∠NMB=∠NBM=30°，
∴∠ANM=60°，
∴此時Q點在BD上，P點與N重合，
∴AP=AN=3，
∴t=3；
②
如圖4，當BM=BN時，作ML⊥AB于L，
∵BM=BN，
∴BL=BM•cos30°=3×

3

2

=

3 3

2

，
ML=BM•sin30°=

3

2

，LP=

3

2

，BP=MP=

3

，
∴AP=6-

3

，
∴t=6-

3

；
③
如圖5，當BM=MN時，∠MNB=∠MBN=30°，
∵∠QPA=60°，
∴∠NMP=90°
∴BP=MP=

1

2

NP，
∴BP=1，AP=5，
∴t=5，
綜合上述，當t=3秒或（6-

3

）秒或5秒時，△BMN是等腰三角形．

（3）①
當0≤t≤4時，過Q作QR⊥AP于R，
∵△APQ是等邊三角形，
∴QA=QP=t，∠QAP=60°，
∴AR=PR=

1

2

t，
∴由勾股定理得：QR=

3

2

t，
∴S=S_△AQP=

1

2

×t×

3

2

t，
即S=

3

4

t²；
②如圖7，
當4＜t≤6時，
∵在Rt△ADF中，∠ADF=90°，∠DAF=90°-60°=30°，AD=2

3

，
∴DF=AD×tan30°=2，
過Q作QR⊥AP于R，交DC于W，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴DC∥AB，
∴△QFO∽△QAP，
∴

FO

AP

=

QW

QR

，
∴

FO

t

=

3 2 t-2 3

3 2 t

，
∴FO=t-4，
∴S=S_△APQ-S_△QFO=

3

4

t²-

1

2

×（t-4）×

3

2

（t-4），
S=2

3

t-4

3

；
③如圖8，當6＜t＜8時，

∵BP=t-6，∠P=60°，
∴BS=

3

（t-6），
∴CS=2

3

-

3

（t-6）=8

3

-

3

t，
∵∠CSO=∠BSP=90°-60°=30°，
∴CO=

CS

3

=8-t，
∴S=S_△AQP-S_△QFO-S_△SBP=

3

4

t²-

1

2

×（t-4）×

3

2

（t-4）-

1

2

×（t-6）×

3

（t-6），
S=-

3

2

t²+8

3

t-22

3

；

④當t≥8時，如圖9，

∵Rt△ADF中，AD=2

3

，∠DAF=90°-60°=30°，
∴DF=AD•tan30°=2，
∴S=S_梯形CFAB=

1

2

×（CF+AB）BC=

1

2

×（6-2+6）×2

3

=10

3

，
即S=10

3

．

點評：本題考查了三角形的面積，勾股定理，矩形的性質，等邊三角形的性質和判定的應用，題目比較好，難度偏大，用了分類討論思想．